Exercícios Resolvidos de Método de Redução de Ordem

Dê a solução geral de:

x - 1 y ' ' - x y ' + y = x - 1 2

( y = e x é uma solução da equação homogênea associada)

Passo 1

Eitaaaa! Que bicho estranho é esse?

Calma, vamos classificar essa equação, nesse primeiro momento, para podermos encontrar a solução de maneira racional (sem sair chutando o balde por ver algo assim).

Por essa EDO envolver o y ' ' como maior derivada, podemos concluir que ela é de 2ª ordem. Além disso, tá vendo que existe um termo que não acompanha nem y nem suas derivadas?

Pois é, esse cara está fazendo com que nossa EDO seja não homogênea, já que ela é diferente de zero.

Conclusão: estamos lidando com um caso de EDO de 2ª ordem não homogênea.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Queremos encontrar uma solução geral. Lembra dessa solução?

y x = y h x + y p ( x )

Sendo que ele já deu uma solução que está presente na homogênea associada. Hmmmm, caímos num caso de redução de ordem.

Se y 1 = e x :

y 2 = ϕ x y 1   → y 2 = ϕ e x

Passo 3

Ora bolas, se estamos assumindo que y 2 seja solução, ele deve respeitar a relação presente na EDO homogênea associada. Pra gente ter certeza, devemos calcular as suas derivadas e substituir na EDO.

y 2 = ϕ e x y ' 2 = ϕ e x + ϕ ' e x y ' ' 2 = ϕ ' ' e x + 2 ϕ ' e x + ϕ e x

Substituindo na equação homogênea:

x - 1 ϕ ' ' e x + 2 ϕ ' e x + ϕ e x - x ϕ e x + ϕ ' e x + ϕ e x = 0

Com isso, você faz as multiplicações necessárias e agrupa os termos semelhantes, ficando com:

ϕ ' ' e x x - 1 + ϕ ' e x x - 2 = 0 →   ϕ ' ' x - 1 + ϕ ' x - 2 = 0

Passo 4

“Xiiii, caí no mesmo problema!”

Nada disso! Deixe-me ajeitar essa EDO pra ver se você reconhece qual será o próximo passo...

ϕ ' ' + ϕ ' x - 2 x - 1 = 0

Aaaaah, vamos substituir esse ϕ ' por outra variável, porque aí teremos uma EDO linear de 1ª ordem! Fazendo u = ϕ ' :

u ' + u x - 2 x - 1 = 0

Passo 5

Temos que identificar A ( x ) e B ( x ) :

A x = x - 2 x - 1

B x = 0

Agora, calcular

∫ A x d x = ∫ x - 2 x - 1 d x = ∫ x x - 1 d x - 2 ∫ 1 x - 1 d x

Muita calma nessa hora, pois vou integrar essas coisas separadamente. Quer saber o porquê? Dá uma olhada:

- 2 ∫ 1 x - 1 d x = - 2 l n ⁡ | x - 1 |

∫ x x - 1 d x =   ? ? ?

Neste caso, precisaremos de uma substituição. Adotando v = x - 1 → d v = d x

∫ v + 1 v d v = ∫ 1 d v + ∫ 1 v d v = v + ln ⁡ v → x - 1 + l n ⁡ | x - 1 |

Portanto,

∫ A x d x = ∫ x x - 1 d x - 2 ∫ 1 x - 1 d x = x - 1 - ln ⁡ x - 1

Agora, calcular

I x = e ∫ A x d x = e x - 1 - l n ⁡ | x - 1 | = C 1 e x x - 1

Além disso:

∫ I x B x d x = ∫ C e x x - 1 . 0 d x = 0

u x = 1 I x ∫ I x B x d x + C → u x = x - 1 C 1 e x 0 + C 2 = u x = C e - x ( x - 1 )

Passo 6

Atenção! Encontramos quem é u , mas queremos ϕ , tal que u = ϕ '

ϕ = ∫ u d x

ϕ = ∫ C e - x ( x - 1 ) d x = ∫ C x e - x d x - ∫ C e - x d x = - C e - x x + 1 + C e - x = C x e - x

Onde C pertence aos reais. Sendo assim, podemos escolher C = 1 .

y 2 = ϕ x y 1 → y 2 = x e - x . e x = x

Ufa! Bora encontrar (finalmente) o y p .

Passo 7

Bom, agora chegou a parte mais chatinha. Devemos sempre deixar o y ' ' sozinho (para evitar erros bobos), então:

y ' ' - x x - 1 y ' + 1 x - 1 y = x - 1

Como os coeficientes da nossa equação não são constantes (números), teremos de usar o método da variação dos parâmetros, onde:

y p = f 1 x y 1 + f 2 x y 2

Onde y 1   e   y 2 são as soluções da homogênea. Temos então:

y p = f 1 e x + f 2 x

Lembra das fórmulas de f 1 e f 2 ?

f 1 = ∫ y 2 B x y 1 ' y 2 - y ' 2 y 1 d x f 2 = - ∫ y 1 B x y 1 ' y 2 - y ' 2 y 1 d x

Onde B x = x - 1 e y 1 ' y 2 - y ' 2 y 1 = e x x - e x = e x ( x - 1 )

f 1 = ∫ x ( x - 1 ) e x ( x - 1 ) d x = ∫ e - x x d x = ? ? ? f 2 = - ∫ e x ( x - 1 ) e x ( x - 1 ) d x = - ∫ 1 d x = - x

Eita! Pra fazer aquela integral, a gente vai precisar fazer uma integração por partes, lembrando que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Para ∫ e - x x d x , adotaremos u = x → d u = d x ,   d v = e - x → v = - e - x :

∫ e - x x d x = - x e - x - ∫ - e - x d x = - x e - x - e - x

f 1 = - e - x ( x + 1 )

Passo 8

Indo direto ao ponto:

y p = - e - x x + 1 e x + - x x = - x - 1 - x 2

ALELUIAAAAAA. Agora, solução geral:

y x = C 1 e x + C 2 x - x - 1 - x 2 = C 1 e x + ( C 2 - 1 ) x - 1 - x 2

Perceba que C 2 - 1 também é uma constante, então continuarei chamando esse termo de C 2 .

Resposta

y x = C 1 e x + C 2 x - 1 - x 2

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