Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Sejam P t = 2 / t - 2 / t 2 1 0 e g t = ln ⁡ t t 2 ln ⁡ t . Sabendo que Ψ t = 1 2 t t t 2 é uma matriz fundamental (suas colunas determinam um CFS) do sistema homogêneo x ' = P t x , determine uma solução particular do sistema não homogêneo x ' = P t x + g ( t ) no intervalo I = ( 0 , ∞ ) , usando o método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Para resolvermos o problema com o método da variação de parâmetros, vamos definir uma função U ( t ) , tal que a solução do sistema seja

x t = Ψ t U ( t )

onde

U t = u 1 ( t ) u 2 ( t )

Desta forma, nosso problema se restringe a resolver a equação

Ψ t U ' ( t ) = g ( t )

Passo 2

Substituindo Ψ t = 1 2 t t t 2 e g t = ln ⁡ t t 2 ln ⁡ t , obtemos:

1 2 t t t 2 u 1 ' u 2 ' = ln ⁡ t t 2 ln ⁡ t

Assim, o sistema

u 1 ' + 2 t u 2 ' = ln ⁡ t t u 1 ' + t 2 u 2 ' = t 2 ln ⁡ t

pode ser simplificado para

u 1 ' + 2 t u 2 ' = ln ⁡ t       ( I ) u 1 ' + t u 2 ' = 1 2 ln ⁡ t         ( I I )

Passo 3

De I - ( I I ) , vem:

t u 2 ' = 1 2 ln ⁡ t

u 2 ' = 1 2 t ln ⁡ t

u 2 = ∫       1 2 t ln ⁡ t   d t

Fazendo a substituição τ = ln ⁡ t → d τ = d t / t , temos:

u 2 = ∫       τ 2   d τ

u 2 = τ 2 4 + C

u 2 = ln ⁡ t 2 4   + C 2

Passo 4

Agora, fazendo I - 2 × ( I I ) temos:

u 1 ' = 0

u 1 = C 1

Passo 5

Sejam C 1 = 1 e C 2 = 0 , temos:

U t = 1 ln ⁡ t 2 4  

Portanto,

X t = Ψ t U ( t )

x t = 1 2 t t t 2 1 ln ⁡ t 2 4  

x t = 1 + t ln ⁡ t 2 2 t + t 2 ln ⁡ t 2 4  

Resposta

x t = 1 + t ln ⁡ t 2 2 t + t 2 ln ⁡ t 2 4