Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo (MPF)

Elaboração Própria

Encontre o zero de f x = e - x 2 - cos x no intervalo 1,2 com precisão ε = 10 - 4 usando o Método do Ponto Fixo. Escolha uma função de iteração apropriada e um ponto inicial x 0 .

Passo 1

Primeiro vamos encontrar uma função de iteração g x = x convergente.

e - x 2 - cos x = 0

Aqui ta meio ruim de isolar o x né? Nesses casos podemos usar aquela fórmula geral que vimos na teoria:

g x = x + A x f x

Logo, uma possível função de iteração seria

g x = x + cos x - e - x 2

Beleza, achamos uma função de iteração. Ao invés de usarmos aquele teorema vamos direto para o método e testamos por ele ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos tomar como estimativa inicial x 0 = 1.5

x 0 = 1.5

ε 1 = ε 2 = 10 - 4

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.46534

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.03466 > 10 - 4

f x 1 = 0.01155 > 10 - 4

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.46534

ε 1 = ε 2 = 10 - 4

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.45379

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.01155 > 10 - 4

f x 2 = 0.00408 > 10 - 4

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.45379

ε 1 = ε 2 = 10 - 4

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.44972

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.00408 > 10 - 4

f x 3 = 0.00147 > 10 - 4

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.44972

ε 1 = ε 2 = 10 - 4

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 1.44825

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.00147 > 10 - 4

f x 4 = 0.00053 > 10 - 4

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 1.44825

ε 1 = ε 2 = 10 - 4

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = 1.44772

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.00053 > 10 - 4

f x 5 = 0.00019 > 10 - 4

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 5 = 1.44772

ε 1 = ε 2 = 10 - 4

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = 1.44752

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 0.00019 > 10 - 4

f x 6 = 7 10 - 5 < 10 - 4

Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = 1.44752 .

Resposta

x - = 1.44752 .

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