Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo (MPF)

Lista 2 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 3 – Item i Adaptada

Seja Equation . Determine um intervalo onde se encontre uma raiz e encontre uma função de iteração convergente para qualquer Equation no intervalo. Em seguida, aplique o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação da raiz com precisão de Equation .

Obs.: Desconsidere a raiz Equation .

Passo 1

Poxa, Equation tava molinho pra gente né? Mas não tem problema, vamos achar a outra raiz:

Equation

Equation

Equation

Beleza, sabemos que existe uma raiz no intervalo Equation !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos encontrar uma função de iteração Equation convergente.

Equation

Equation

Equation

Equation

Como Equation ,

Equation

Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:

Equation

Equation

Equation é contínua para Equation , ou seja, Equation , Equation . O que quer dizer que ela é contínua em Equation , o que engloba nosso intervalo Equation .

Equation é contínua para Equation , ou seja, Equation . O que quer dizer que ela é contínua em Equation , o que engloba nosso intervalo Equation .

Equation

A função Equation é decrescente no intervalo Equation . Como Equation e Equation , é seguro afirmar que em nenhum momento seu módulo é maior que Equation no intervalo Equation .

Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.

Passo 3

Vamos tomar como estimativa inicial Equation

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Equation

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

Equation

Equation

Iteração Equation :

Equation

Critério de Parada:

Equation

Equation

Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é Equation .

Resposta

Equation .

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