Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo (MPF)

Lista 2 – UFRJ – Professor Daniel – Questão 5

Suponha que a > 0 . Certifique-se que as seguintes funções de iteração:

a φ 1 x = a x

b φ 2 x = 1 2 x + a x

possuem o ponto fixo ξ = a . Qual dessas funções você utilizaria para obter uma aproximação de a pelo Método do Ponto Fixo? Explique sua escolha.

Passo 1

Se a é ponto fixo dessas funções então   φ 1 a =   φ 2 a = a :

φ 1 a = a a = a ∙ a a ∙ a = a

φ 2 a = 1 2 a + a a = 1 2 a + a = a

Beleza, ambas as funções de iteração tem a como ponto fixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Agora o problema é, qual escolheríamos? O lógico seria escolhermos a que converge para o ponto fixo mais rapidamente certo? E lembra que quanto menor o módulo da derivada da função de iteração mais rápido o método vai convergir? Então queremos a função que tenha a menor derivada no ponto fixo.

φ 1 ' x = - a x 2

φ 1 ' a = a a = 1

Agora para a segunda função:

φ 2 ' x = 1 2 1 - a x 2 = 1 2 - a 2 x 2

φ 2 ' a = 1 2 - a 2 a = 1 2 - 1 2 = 0

A segunda função de iteração tem módulo da derivada igual a zero no ponto fixo! Então ela é a melhor escolha para função de iteração já que converge mais rapidamente.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas