Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não-homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = e - x c o s ⁡ ( x )

Dica: Transforme a equação para u ( x ) , como na 1ª questão.

Passo 1

Amigx, se o cara tá te dando uma dica, não a ignore! Provavelmente, ela será útil demais. Sendo assim, usando a dica, vamos transformar essa EDO esquisita numa equação de u ( x ) , sabendo que y x = e - x u ( x ) .

Calculando as derivadas

y ' x = - e - x u x + e - x u ' x

y ' ' x = e - x u x - 2 e - x u ' x + e - x u ' ' ( x )

Substituindo na EDO:

e - x u x - 2 e - x u ' x + e - x u ' ' x + 2 - e - x u x + e - x u ' x + 2 e - x u x = e - x c o s ⁡ ( x )

Arrumando esse monstrinho:

e - x u ' ' + u = e - x cos ⁡ x

u ' ' + u = c o s ⁡ ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que a gente precisa agora é resolver a EDO homogênea associada e depois encontrar a particular.

u ' ' + u = 0

Resolvendo o polinômio característico:

r 2 + 1 = 0

r = ± i

Temos que u h x = A c o s x + B s e n x , e portanto y h x = e - x A c o s x + B s e n x

Passo 3

Bora tentar encontrar uma solução particular pra EDO

u ' ' + u = cos ⁡ x

u p = C c o s x + D s e n x

STOP! Precisamos ver se a solução particular já está contida na solução homogênea! E ela está :(

Não se preocupe, a gente só precisa multiplicar essa particular por x até que ela fique diferente da homogênea. Então

u p = C c o s x + D s e n x x

Beleza, ela já tá diferente!

Passo 4

Assumindo que u p é solução, temos que calcular suas derivadas e substituir na EDO.

u p ' = - C s e n x + D c o s x x + C c o s x + D s e n x

u p ' ' = - D x - 2 C s e n x + - C x + 2 D c o s ⁡ ( x )

Pronto. Agora substituindo na EDO:

- D x - 2 C s e n x + - C x + 2 D cos ⁡ x + C c o s x + D s e n x x = 0

Arrumando...

2 D c o s x - 2 C s e n x = cos ⁡ x

Então D = 1 2 e C = 0 .

u p = x 1 2 s e n x

Passo 5

Se a gente sabe u p , a gente sabe também y p , por conta da relação entre eles:

y p = e - x u p

Então

y p = e - x x s e n x 2

Passo 6

Finalmente, podemos encontrar a solução geral:

y x =   y h x +   y p x

y x = e - x A c o s x + B s e n x + e - x x s e n x 2

Resposta

y x = e - x A c o s x + B s e n x + e - x x s e n x 2

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