Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

UFRJ, Cálculo 2, P1 2013.1, questão 3 Múltipla Escolha

A EDO x ' ' + 2 x ' + 5 x = - 2 t sin ⁡ t + 3 e t possui uma solução da forma:

a x p t = e - t A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t

b x p t = A 0 + A 1 t cos ⁡ t + B 0 + B 1 t sin ⁡ t + C e t

c x p t = e t A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t

d x p t = e t A 0 + A 1 t cos ⁡ t + B 0 + B 1 t sin ⁡ t

e x p t = 0

f Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Queremos basicamente x p , a solução Particular, então vamos nessa!

Vejamos o seguinte: o lado direito da nossa igualdade é esse cara aqui...

- 2 t sin ⁡ t + 3 e t

A solução que chutamos pra exponencial é algo assim:

C e t

A que chutamos pro seno é:

A sin ⁡ t + B cos ⁡ t

E a que chutamos pro polinômio de primeiro grau é:

D t + E

O polinômio está multiplicando o sin ⁡ t , então nós multiplicamos os chutes:

A sin ⁡ t + B cos ⁡ t D t + E = A E + A D t sin ⁡ t + B E + B D t cos ⁡ t

Trocando o nome dessas contantes:

A 0 + A 1 t sin ⁡ t + B 0 + B 1 t cos ⁡ t

E o termo - 2 t sin ⁡ t está somado com a exponencial, então somamos os chutes:

A 0 + A 1 t sin ⁡ t + B 0 + B 1 t cos ⁡ t + C e t

Que é exatamente a alternativa b ! Fim de papo haha.

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Resposta

Letra ( b )

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