Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 14, Questão 12

Encontre todas as soluções da EDO:

y ' ' + 3 y = - 48 x 2 e 3 x

Passo 1

Temos uma derivada de segunda ordem aparecendo aqui, então temos uma EDO de 2ª ordem, porém, agora, temos uma função de x solta ali do outro lado. Logo, não é uma EDO homogênea!

Mas ok, segue o jogo. Lembramos que a solução da EDO não homogênea vai ser composta por:

y x = y h x + y p x

Em que y h é a solução da EDO homogênea equivalente e a y p é a solução particular.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, vamos começar com parte homogênea que consiste basicamente em desconsiderar, por hora, a função solta de x :

y ' ' + 3 y = 0

A partir disso, tiramos a equação característica: y ' ' + 3 y = 0 r 2 + 3 = 0  

Isolando r , teremos: r = ± i 3

Como temos raízes puramente complexas, a solução homogênea será dada pela combinação de senos e cossenos: y h x = c 1 cos 3 x + c 2 sen 3 x

Passo 3

OK, a solução homogênea já foi, vamos olhar agora para a solução particular. Temos aqui um polinômio x 2 multiplicando uma exponencial e 3 x :

- 48 x 2 e 3 x

portanto nossa solução particular será na forma: y p x = A + B x + C x 2 e 3 x

Repare que temos que considerar todos os coeficientes associados ao grau menor ou igual ao do polinômio que aparece, no caso, consideramos todos os coeficientes associados ao grau menor ou igual a 2 , uma vez que aparece o x 2 .

Diferentemente das constantes c 1 e c 2 que estão associadas as condições dadas pelo problema, conseguimos (e precisamos) encontrar as constantes A ,   B e C substituindo y p na nossa EDO não homogênea a comparando coeficientes.

Passo 4

OK, vamos fazer isso então. Temos aqui:

y ' ' + 3 y = - 48 x 2 e 3 x

Precisamos encontrar y ' ' para substituir. Começamos com a primeira derivada:

y ' = A + B x + C x 2 e 3 x ' = B + 2 C x e 3 x + 3 A + B x + C x 2 e 3 x

= B + 3 A + 2 C + 3 B x + 3 C x 2 e 3 x

E então derivamos novamente:

y ' ' = B + 3 A + 2 C + 3 B x + 3 C x 2 e 3 x '

= 2 C + 3 B + 6 C x e 3 x + 3 B + 3 A + 2 C + 3 B x + 3 C x 2 e 3 x

= 2 C + 3 B + 3 B + 9 A + 6 C + 6 C + 9 B x + 9 C x 2 e 3 x

= 9 A + 6 B + 2 C + 9 B + 12 C x + 9 C x 2 e 3 x

Encontrado o que queríamos, vamos substituir:

y ' ' + 3 y = - 48 x 2 e 3 x

9 A + 6 B + 2 C + 9 B + 12 C x + 9 C x 2 e 3 x + 3 A + B x + C x 2 e 3 x = - 48 x 2 e 3 x

Juntando os termos de mesmo grau: 12 A + 6 B + 2 C + 12 B + 1 2 C x + 12 C x 2 e 3 x = - 48 x 2 e 3 x

Agora comparamos cada coeficiente pela igualdade: 12 A + 6 B + 2 C + 12 B + 1 2 C x + 12 C x 2 e 3 x = 0 e 3 x + 0 x e 3 x - 48 x 2 e 3 x

E chegamos no sistema: 12 A + 6 B + 2 C = 0 12 B + 1 2 C = 0 12 C = - 48

Da última equação temos: C = - 48 12 = - 4

Substituindo na segunda: 12 B + 1 2 C = 0

12 B + 1 2 - 4 = 0

12 B - 48 = 0

B = 48 12 = 4

Agora, substituindo na primeira: 12 A + 6 B + 2 C = 0

12 A + 6 4 + 2 - 4 = 0

12 A + 24 - 8 = 0

A = - 16 12 = - 4 3

Portanto, nossa solução particular será:

y p x = A + B x + C x 2 e 3 x

y p x = - 4 3 + 4 x - 4 x 2 e 3 x

Passo 5

Encontramos as soluções particular e homogênea, agora é só juntar tudo para chegar na solução final:

y x = y h x + y p x

y x = c 1 cos 3 x + c 2 sen 3 x + - 4 3 + 4 x - 4 x 2 e 3 x

Resposta

y x = c 1 cos 3 x + c 2 sen 3 x + - 4 3 + 4 x - 4 x 2 e 3 x

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