Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2014.2, Questão 2

Resolva o problema de contorno:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = e x cos 2 x y 0 = 0 ,       y π 2 = 0

Passo 1

A equação é não homogênea, então a solução geral é

y = y h + y p

onde y h é a solução homogênea e y p é a solução particular.

Vamos começar achando a solução homogênea y h ! A equação homogênea é a mesma mas com 0 do lado direito:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = 0

Repare que a equação já está na forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

com a = 1 , b = - 4 , c = 5 .

O discriminante vai ser:

Δ = b 2 - 4 a c = 16 - 20 = - 4 < 0  

Como Δ < 0 as raízes da equação auxiliar serão da forma

r = α ± β i

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos encontrar essas raízes! A equação auxiliar é

r 2 - 4 r + 5 = 0

  r = - b ± i Δ 2 a = 4 ± 2 i 2 = 2 ± i

Comparando

2 ± i α ± β i

temos

α = 2     e     β = 1

Então a solução homogênea da equação é:

e α x c 1 cos β x + c 2 sen β x  

y h x = e 2 x c 1 cos x + c 2 sen x  

Passo 3

Agora que o bicho pega, vamos achar a solução particular! Lembrando que a equação é:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = e x cos 2 x

Temos que determinar qual vai ser o nosso “chute” pra y p . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.

Temos uma função exponencial multiplicando uma trigonométrica, então nossa solução particular também vai ser algo do tipo!

Como a função e x cos ( 2 x ) não é solução da equação homogênea, podemos tentar algo do tipo

y p ( x ) = e x A cos 2 x + B sen 2 x

Passo 4

Show! Vamos derivar a função, usando as regra do produto e da cadeia:

y p ' x = e x A cos 2 x + B sen 2 x + e x A - sen 2 x . 2 + B cos 2 x . 2

y p ' x = e x A cos 2 x + B sen 2 x - 2 A sen 2 x + 2 B cos 2 x

  y p ' x = e x A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x

Passo 5

Agora é arregaçar as mangas e calcular essa derivada segunda:

y p ' ' x = e x A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x + e x A + 2 B - sen 2 x . 2 + B - 2 A cos 2 x . 2  

y p ' ' x = e x A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x - 2 A + 2 B sen 2 x + 2 B - 2 A cos 2 x

y p ' ' x = e x A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x - 2 A + 4 B sen 2 x + 2 B - 4 A cos 2 x

y p ' ' x = e x A + 2 B + 2 B - 4 A cos 2 x + B - 2 A - 2 A - 4 B sen 2 x

  y p ' ' x = e x 4 B - 3 A cos 2 x - 4 A + 3 B sen 2 x

Ufa! Demorou mas foi!

Passo 6

Agora vamos substituir y p , y p ' e y p ' ' na EDO:

y p ' ' - 4 y p ' + 5 y p = e x cos 2 x

O que dá esse troço bizarro aí:

e x 4 B - 3 A cos 2 x - 4 A + 3 B sen 2 x - 4 e x A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x + 5 e x A cos 2 x + B sen 2 x = e x cos 2 x

A primeira coisa que podemos fazer é cortar e x dos 2 lados:

4 B - 3 A cos 2 x - 4 A + 3 B sen 2 x - 4 A + 2 B cos 2 x + B - 2 A sen 2 x + 5 A cos 2 x + B sen 2 x = cos ( 2 x )

Melhorou um pouco né? Agora vamos juntar todos os senos e cossenos:

4 B - 3 A - 4 A + 2 B + 5 A cos ( 2 x ) + - 4 A - 3 B - 4 B - 2 A + 5 B sen ( 2 x ) = c o s ( 2 x )

4 B - 3 A - 4 A - 8 B + 5 A cos 2 x + - 4 A - 3 B - 4 B + 8 A + 5 B sen ( 2 x ) = c o s ( 2 x )

- 2 A - 4 B cos 2 x + 4 A - 2 B sen 2 x = c o s ( 2 x )

Passo 7

Excelente! Repare que do lado direito temos

cos 2 x = 1 . cos 2 x + 0 . sen ( 2 x )

Ou seja, vamos cair num sistema:

- 2 A - 4 B = 1 4 A - 2 B = 0

Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e somá-la com a segunda:

2 - 2 A - 4 B + 4 A - 2 B = 2.1 + 0

- 4 A - 8 B + 4 A - 2 B = 2

- 10 B = 2

  B = - 2 10 = - 1 5

E pela segunda equação, temos

4 A = 2 B

2 A = B = - 2 10

A = - 1 10

Passo 8

Então solução particular é:

y p ( x ) = e x A cos 2 x + B sen 2 x

y p x = e x - 1 10 cos 2 x - 2 10 sen 2 x

y p x = - 1 10 e x cos 2 x + 2 sen 2 x

Lembrando que achamos a solução homogênea

y h x = e 2 x c 1 cos x + c 2 sen x

Logo, a solução geral da equação vai ser

y = y h + y p

y x = e 2 x c 1 cos x + c 2 sen x - 1 10 e x cos 2 x + 2 sen 2 x

Passo 9

Ótimo, estamos quase acabando, só falta determinar c 1 e c 2 ! É agora que entram as condições de contorno:

y 0 = 0 y π 2 = 0

Vamos calcular y 0 :

y 0 = e 0 c 1 cos 0 + c 2 sen 0 - 1 10 e 0 cos 0 + 2 sen 0

y 0 = 1 . c 1 . 1 + c 2 . 0 - 1 10 1 ( 1 + 2.0 )

y 0 = c 1 - 1 10

Ou seja:

c 1 - 1 10 = 0

c 1 = 1 10

Passo 10

Agora partiu y π 2 :

y π 2 = e π c 1 cos π 2 + c 2 sen π 2 - 1 10 e π 2 cos π + 2 sen π

y π 2 = e π 1 10 . 0 + c 2 . 1 - 1 10 e π 2 - 1 + 2.0

y π 2 = e π c 2 + 1 10 e π 2

E como y π 2 = 0 :

e π c 2 + 1 10 e π 2 = 0

e π c 2 = - 1 10 e π 2

c 2 = - 1 10 e π 2 e π

c 2 = - 1 10 e - π 2

Passo 11

Finalmente conseguimos! A solução geral da equação é, portanto:

y x = e 2 x 1 10 cos x - 1 10 e - π 2 sen x - 1 10 e x cos 2 x + 2 sen 2 x

y x = 1 10 e 2 x cos x - e - π 2 sen x - e x cos 2 x + 2 sen 2 x

Resposta

y x = 1 10 e 2 x cos x - e - π 2 sen x - e x cos 2 x + 2 sen 2 x

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