Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2017.1, Questão E5

Qual o valor de b de modo que nenhuma solução particular da equação diferencial

y ' ' + b y ' + 5 y = e - t cos 2 t

Seja da forma A e - t cos 2 t + B e - t sen 2 t , para alguns A ,   B R .

  1. - 1
  2. - 2
  3. 1
  4. 2
  5. Nenhuma das alternativas

Passo 1

Repare que a nossa função da parte não homogênea é uma exponencial vezes um cosseno. Assim a nossa solução particular precisa ter a seguinte cara

y p = A e - t cos 2 t + B e - t sen 2 t

Mas, fique atento a comparação da particular com a homogênea. Se a homogênea tem algum desses termos, e - t cos 2 t ou e - t sen 2 t , devemos multiplicar aquela nossa suposição de particular por t .

Nessa questão ele quer que a nossa solução particular não tenha essa forma, então devemos ter na solução da homogênea e - t cos 2 t ou e - t sen 2 t .

Vamos agora analisar a solução da homogênea associada

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

y ' ' + b y ' + 5 y = 0

r 2 + b r + 5 = 0

A solução que nos conhecemos que possui exponencial vezes seno ou cosseno é quando a nossa raiz é complexa. Assim, teremos o caso de Δ < 0

Δ = b 2 - 20 < 0

A nossa solução vai ser

r = - b ± b 2 - 20 2

Como b 2 - 20 < 0 , temos

r = - b ± 20 - b 2 i 2

r = - b 2 ± 20 - b 2 2 i

Assim, a nossa solução vai ser da seguinte cara

y t = e - b 2 t cos 20 - b 2 2 t + sen 20 - b 2 2 t

Para termos os termos e - t cos 2 t ou e - t sen 2 t , devemos ter

- b 2 = - 1 20 - b 2 2 = 2

Da primeira equação temos

b = 2

Da segunda equação

20 - b 2 = 4

20 - b 2 = 16

b 2 = 4

b = ± 2

Assim, o valor de b que queremos é b = 2

Resposta

Letra D

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