Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2016.1, Questão E2

A equação diferencial y " + 4 y ' + 4 y = 3 e - 2 x   tem uma solução da forma, com A 0 , B 0 :

a nenhuma das demais

b y = A x e - 2 x

c y = A x e - x + B x 2 e - 2 x

d y = A e - 2 x + B x e - 2 x

e y = A e - 2 x

Passo 1

A equação homogênea associado é:

y " + 4 y ' + 4 y = 0

A equação característica:

r 2 + 4 r + 4 = 0

r 1 / r 2 = - 4 ± 0 2 = - 2  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A solução da homogênea é:

y h = A e - 2 x + B x e - 2 x

Passo 3

O palpite da solução particular será:

y p = C x 2 e - 2 x

Pois e - 2 x e x e - 2 x já existem na homogênea.

Então:

y ' p = 2 C x e - 2 x - 2 C x 2 e - 2 x

y p ' ' = 2 C e - 2 x - 4 C x e - 2 x - 4 C x e - 2 x + 4 C x 2 e - 2 x = 4 C x 2 e - 2 x - 8 C x e - 2 x + 2 C e - 2 x

Substituindo na EDO:

4 C x 2 e - 2 x - 8 C x e - 2 x + 2 C e - 2 x + 8 C x e - 2 x - 8 C x 2 e - 2 x + 4 C x 2 e - 2 x = 3 e - 2 x

2 C e - 2 x = 3 e - 2 x

C = 3 2

Logo:

y p = 3 2 x 2 e - 2 x

Isso não bate com nenhuma das alternativas então tem que ser a a !

Resposta

Letra a

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