Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados

USP, Cálculo 4, P3 - 2018, Questão 7

Teste 7: Considere os problemas

y ' ' + 2 y ' + 2 y = sin x

e

y ' = x 2 y 2 ,     y 0 = 1

Analise as seguintes afirmações:

  1. A solução do segundo problema possui um ponto de inflexão na origem.
  2. A equação linear possui pelo menos uma solução par.
  3. Todas as soluções da equação linear são ímpares.

São verdadeiras:

  1. Apenas I I .
  2. Apenas I I e I I I .
  3. Apenas I e I I I .
  4. Apenas I e I I .
  5. Apenas I .

Passo 1

Bem, vamos começar a analisando a primeira afirmação:

A solução do segundo problema possui um ponto de inflexão na origem.

Bem, sabemos que para existir um ponto de inflexão em 0 a segunda derivada nesse ponto tem que ser igual a 0 :

y ' ' 0 = 0

Não precisa resolver essa EDO para verificar isso. Vamos apenas deriva-la novamente:

y ' = x 2 y 2  

y ' ' = 2 x y 2 + 2 x 2 y y '

Aplicando x = 0 ...

y ' ' 0 = 0

Então sim! Afirmação verdadeira !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, essa EDO aqui:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = sin x

Ela possui dois tipos de soluções, uma particular e outra homogênea. Vamos Ver a solução da homogênea primeiro:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0

Por comparação com a equação característica...

r 2 + 2 r + 2 = 0

r = - 2 ± 4 - 4 2 2 =

- 2 ± - 4 2 = - 1 ± i

Então chegamos a raízes complexas do tipo r = a ± b i , logo a solução da EDO é da seguinte forma:

y h = e a x C 1 cos b x + C 2 sin b x

y h = e - 1 x C 1 cos x + C 2 sin x

Ora! Devido ao fato de termos uma exponencial ali, não podemos falar que temos soluções nem pares e nem ímpares. Então vamos inspecionar a solução da particular!

Passo 3

Como a função que torna a EDO não homogênea é a composição de cosseno e polinômio do segundo grau...

g x = sin x

A particular terá essa cara aqui:

y p = A cos x + B sin x

Derivando uma vez...

y p ' = - A sin x + B cos x

Calculando a segunda derivada...

y p ' ' = - A cos x - B sin x

Logo, jogando na EDO:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = sin x  

- A cos x - B sin x + 2 - A sin x + B cos x + 2 A cos x + B sin x = sin x

A cos x + B sin x - 2 A sin x + 2 B cos x = sin x

( 2 B + A ) cos x + ( B - 2 A ) sin x = sin x

2 B + A = 0

B - 2 A = 1

Então...

B + 4 B = 1

B = 1 5

A = - 2 5

Logo...

y p = - 2 5 cos x + 1 5 sin x

Então a solução contém pelo menos uma solução par (o cosseno), então nem todas são impares.

Resposta

d )   A p e n a s   I   e   I I

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