Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

Encontre a solução geral real do sistema linear homogêneo de e.d.o.’s usando o método de autovalores e autovetores:

  X ' ( t ) = 3 - 4 4 3 X ( t )

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método matricial.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 3 - 4 4 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar os autovalores de A .

Lembra é só fazer

3 - λ - 4 4 3 - λ = 0

3 - λ 3 - λ - - 4 . 4 = 0

λ 2 - 6 λ + 9 + 16 = 0

λ 2 - 6 λ + 25 = 0

λ 1 = - - 6 + - 6 2 - 4 2 5 1 2.1 = 6 + 36 - 100 2 = 6 + - 64 2 = 6 + 8 i 2 = 3 + 4 i

λ 2 = - - 6 - - 6 2 - 4 25 1 2.1 = 6 - 36 - 100 2 = 6 - - 64 2 = 6 - 8 i 2 = 3 - 4 i

Esse é o caso de autovalores complexos, então

x 1 = e a t a → cos ⁡ b t - b → sen ⁡ b t

x 2 = e a t a → sen ⁡ b t + b → cos ⁡ b t

Temos que achar a → e b → pelos autovetores associados, já sabemos que

a = 3

b = 4

Vamos aos vetores!!!

Passo 3

Agora temos que achar os autovetores associados, lembra que eles vão ser da forma

v 1 = a → + b → i

v 2 = a → - b → i

Então só precisamos achar um deles né.

Para isso vamos ter

A v 1 = λ 1 I v 1

3 - 4 4 3 x 1 x 2 = 3 + 4 i 0 0 3 + 4 i x 1 x 2

3 x 1 - 4 x 2 4 x 1 + 3 x 2 = 3 + 4 i x 1 3 + 4 i x 2

Vamos ter

3 x 1 - 4 x 2 = 3 + 4 i x 1

- 4 x 2 = 4 i x 1

x 2 = - i x 1

E o autovetor associado vai ser

v 1 = x 1 - i x 1

Podemos tirar esse x 1

v 1 = 1 - i = 1 0 + 0 - 1 i

Então

a → = 1 0

b → = 0 - 1

Passo 4

Vamos ter a solução sendo

x 1 = e 3 t 1 0 cos ⁡ 4 t - 0 - 1 sen ⁡ 4 t

x 2 = e 3 t 1 0 sen ⁡ 4 t + 0 - 1 cos ⁡ 4 t

E a solução geral vai ser

X t = C 1 e 3 t 1 0 cos ⁡ 4 t - 0 - 1 sen ⁡ 4 t + C 2 e 3 t 1 0 sen ⁡ 4 t + 0 - 1 cos ⁡ 4 t

Resposta

X t = e 3 t C 1 cos ⁡ 4 t + C 2 sen ⁡ 4 t C 1 sen ⁡ 4 t - C 2 cos ⁡ 4 t

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