Enunciado

Um carrinho (1) de massa M = 0,250 kg está preso à extremidade de uma mola realizando movimento harmônico simples com intervalos de tempo de 0,1 s entre dois extremos consecutivos de sua oscilação. No instante inicial, ele se move em direção à parede, passando pela posição x = 0 com velocidade v = 20 π m/s 62,8 m/s.

Considere que o carrinho (1) esteja em repouso na posição de equilíbrio quando sofre uma colisão perfeitamente inelástica com o carrinho (2), de massa igual a 1,750 kg, quando o mesmo apresentava uma velocidade de 16 π m/s 50,3 m/s em direção à parede.

a) Determine a velocidade dos carrinhos imediatamente após a colisão.

b) Determine a nova frequência angular e o novo período do MHS dos carrinhos acoplados.

c) Determine a nova amplitude do MHS e a nova energia total do sistema.

Passo 1

a) Aqui a gente vai usar conservação do momento linear!

m 2 v 0 2 = m 1 + m 2 v

Repare que no início o carrinho 1 tá em repouso, então só o 2 tem quantidade de movimento.

1,75 × 16 π = 0,25 + 1,75 v

v = 14 π   m / s

Passo 2

b) A nova frequência angular vai ser:

ω = k m 1 + m 2

ω = 25 π 2 2

ω = 5 π 2 2   r a d / s

E o novo período:

T = 2 π ω

T = 2 π 5 π 2 2

T = 2 2 5   s

Passo 3

c) Repare que a velocidade que a gente calculou no item D é a velocidade máxima do sistema! Porque tá passando pelo equilíbrio, e nesse ponto a energia potencial é zero. Aí a energia cinética tem que ser máxima.

Beleza! Vamos igualar a energia potencial máxima com a energia cinética máxima:

( m 1 + m 2 ) v 2 2 = k x * m 2 2

E esse x * m é a nova amplitude que queremos encontrar. Então:

( 2 ) ( 14 π ) 2 2 = ( 25 π 2 ) x * m 2 2

x * m 2 = ( 2 ) ( 14 π ) 2 25 π 2

x * m = 14 π 2 5 π

x * m = 14 2 5   m

E a energia vai ser:

E = ( 25 π 2 ) 2 ( 2 ) ( 14 π ) 2 25 π 2

E = 196 π 2   J ≅ 1934,4   J

Resposta

a) v = 14 π   m / s

b) ω = 5 π 2 2   r a d / s e T = 2 2 5   s

c) x * m = 14 2 5   m e E = 196 π 2   J ≅ 1934,4   J

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