Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2018.2, Questão 5

Calcule a projeção ortogonal do vetor Equation sobre o espaço gerado por Equation e Equation

(a) Equation

(b) Equation

(c) Equation

(d) Equation

Passo 1

Precisamos projetar um vetor no espaço gerado por Equation e Equation

Esses dois vetores não são LD (um não é múltiplo do outro), logo formam uma base para o espaço.

Mas repara que os dois não são ortogonais entre si, pois produto interno entre eles não é zero.

Então, pra fazer essa projeção, vamos usar os mínimos quadrados!

Por esse método, resolvemos a equação:

Equation

onde:

  • A é uma matriz cujos vetores das colunas são os vetores da base do espaço em que estamos projetando;
  • b é o vetor que queremos projetar/aproximar
  • z é a nossa incógnita e é um vetor cujas entradas dão a nossa melhor aproximação para o vetor b

Tá, mas depois de achar z, o problema foi resolvido??

NÃO! Porque queremos a projeção, então vamos ter que fazer ainda:

Equation

Agora sim, vamos resolver essa questão!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

De acordo com o que vimos antes, temos:

Montando a equação e resolvendo:

Equation

Vamos resolver esse sistema montando a matriz aumentada e escalonando:

Equation

Então:

Equation

Equation

Pela primeira linha:

Equation

Equation

Logo:

Equation

Passo 3

Agora não esquece de fazer a projeção!

Equation

Resposta

(c) Equation

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