Exercícios Resolvidos de Modelagem – Circuito RLC

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 264 - 12

Encontre a corrente estacionária em um circuito em série R-L-C quando L = 1 2 h e n r y , R = 20   o h m s , C = 0,001   f a r a d e E t = 100 s e n 60 t + 200 cos 40 t .

Passo 1

Vimos na teoria que, pela lei de Kirchhoff das tensões, o circuito RLC se reduz a EDO de 2° ordem:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos substituir os valores dados:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

0,5 d 2 q d t 2 + 20 d q d t + 1 0,001 q = 100 s e n 60 t + 200 cos 40 t

Passo 3

Para resolver essa EDO, temos de resolver a parte homogênea associada e a não homogênea. Ou seja, a solução será:

q = q h + q p

A equação homogênea associada é :

0,5 d 2 q d t 2 + 20 d q d t + 1 0,001 q = 0

A equação auxiliar é:

0,5 r 2 + 20 r + 1000 = 0

Calculando temos:

= 20 2 - 4 0,5 1000 = - 1600

Portanto as raízes são:

r 1 = - 20 + 40 i 1 = - 20 + 40 i

r 2 = - 20 - 40 i 1 = - 20 - 40 i

A solução da EDO homogênea associada é da forma:

q h = e - 20 t c 1 cos 40 t + c 2 s e n 40 t

Pois estamos no caso em que < 0

Passo 4

Agora vamos encontrar a solução da parte não homogênea. Pelo método dos coeficientes a determinar, temos que o lado direito é composto de soma de trigonométricas, logo o nosso palpite será:

q p = A s e n 60 t + B cos 60 t + C s e n 40 t + D c o s 40 t

Passo 5

A gente verifica que essas funções não estão presentes na solução homogênea. Veja que na homogênea, todas as funções trigonométricas são multiplicadas por e - 20 t o que não ocorre no nosso palpite.

Passo 6

Encontrando as derivadas temos:

d q d t = 60 A c o s 60 t - 60 B sen 60 t + 40 C c o s 40 t - 40 D s e n 40 t

d 2 q d t 2 = - 3600 A s e n 60 t - 3600 B cos 60 t - 1600 C s e n 40 t - 1600 D c o s 40 t

Passo 7

Substituindo na EDO temos:

0,5 d 2 q d t 2 + 20 d q d t + 1 0,001 q = 100 s e n 60 t + 200 cos 40 t

- 1800 A s e n 60 t - 1800 B cos 60 t - 800 C s e n 40 t - 800 D c o s 40 t +   1200 A c o s 60 t - 1200 B sen 60 t + 800 C c o s 40 t - 800 D s e n 40 t + 1000 A s e n 60 t + 1000 B cos 60 t + 1000 C s e n 40 t + 1000 D c o s 40 t = 100 s e n 60 t + 200 cos 40 t

Ajeitando essa parada, temos:

s e n 60 t - 800 A - 1200 B + cos 60 t 1200 A - 800 B + s e n 40 t 200 C - 800 D + cos 40 t 200 D + 800 C = 100 s e n 60 t + 200 cos 40 t

Temos então as seguintes equações:

- 800 A - 1200 B = 100

1200 A - 800 B = 0

200 C - 800 D = 0

200 D + 800 C = 200

Da segunda equação:

B = 3 2 A

Substituindo na primeira equação:

- 800 A - 1800 A = 100

Então:

A = - 1 26

E:

B = - 3 52

Da terceira equação:

C = 4 D

Substituindo na quarta equação:

200 D + 3200 D = 200

Então:

D = 1 17

E:

C = 4 17

Portanto a solução particular fica:

q p = - 1 26 s e n 60 t - 3 52 cos 60 t + 4 17 s e n 40 t + 1 17 c o s 40 t

Passo 8

Logo, a solução geral é:

q t = e - 20 t c 1 cos 40 t + c 2 s e n 40 t - 1 26 s e n 60 t - 3 52 cos 60 t + 4 17 s e n 40 t + 1 17 c o s 40 t

Passo 9

Falta encontrar:

i = d q d t

Derivando:

i = - 20 e - 20 t c 1 cos 40 t + c 2 s e n 40 t + e - 20 t - 40 c 1 sen 40 t + 40 c 2 c o s 40 t - 30 13 cos 60 t + 45 13 s e n 60 t + 160 17 cos 40 t - 40 17 s e n 40 t

Passo 10

Perceba que a questão pede a corrente estacionária, ou seja, a corrente quanto t tende a infinito. Note que os termos - 20 e - 20 t c 1 cos 40 t + c 2 s e n 40 t + e - 20 t - 40 c 1 sen 40 t + 40 c 2 c o s 40 t

Tendem a zero quando t tende a infinito, devido ao teorema do confronto.

Portanto a corrente estacionária é dada por:

i t = - 30 13 cos 60 t + 45 13 s e n 60 t + 160 17 cos 40 t - 40 17 s e n 40 t

Resposta

A corrente estacionária é dada por:

i t = - 30 13 cos 60 t + 45 13 s e n 60 t + 160 17 cos 40 t - 40 17 s e n 40 t

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