Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp134-9

Considere a lei de resfriamento de Newton, d T d t = k T - T m ,   k < 0 , em que a temperatura do meio ambiente T m varia com o tempo. Suponha que a temperatura inicial de um corpo seja T 1 e que a temperatura inicial do meio ambiente seja T 2 e T m = T 2 + B ( T 1 - T ) , em que B > 0 seja uma constante.

  1. Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante t .
  2. Qual é o valor limite da temperatura quando t → ∞ ?
  3. Qual o valor limite de T m quando t → ∞ ?

Passo 1

a) Para encontrar a nossa solução temos que resolver a EDO, pra isso vamos primeiro substituir T m na nossa equação. Dessa forma.

d T d t = k ( T - T 2 - B T 1 - T )

d T d t = k ( T 1 + B - T 2 - B T 1 )

Vamos agora escrever a equação naquele formato pra resolução de equação separável.

d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = k d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos integrar ambos os lados e resolver cada uma das integrais indefinidas. Resolvendo a equação da esquerda

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1

Podemos ficar um pouco assustados com esse divisor gigantesco, mas temos que manter em mente que somente o T é varíavel e o resto são constantes. Lembrando que

∫ d x k x + a = ln ⁡ k x + a k

Tomando

k = 1 + B

a = - T 2 - B T 1

Temos:

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = ln ⁡ T 1 + B - T 2 - B T 1 1 + B

Passo 3

Resolvendo o lado direito da igualdade temos.

∫ k d t = k t

Igualando as duas integrais que calculamos.

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = ∫ k d t

ln ⁡ T 1 + B - T 2 - B T 1 1 + B =   k t + C

Essa constante C que a gente adicionou foi justamente pelas constantes das integrais indefinidas que nós não colocamos lá atrás. Manipulando as equações teremos:

T = e 1 + B ( k t + C ) + T 2 + B T 1 1 + B

Você deve se lembrar daquela propriedade da exponencial que e b + a = e b e a . Vamos usar ela pra escrever essa nossa constante de uma forma mais bonita:

e 1 + B ( k t + C ) = e k t 1 + B + C 1 + B = e 1 + B k t e 1 + B C

T = e 1 + B k t e 1 + B C + T 2 + B T 1 1 + B

Chamando a constante e 1 + B C de D, temos:

T = D e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Passo 4

No inicio do problema ele diz que a temperatura inicial é igual a T 1 . Com isso temos que T 0 = T 1 . Vamos usar essa informação pra achar a constante D .

T 0 = D e 1 + B k * 0 + T 2 + B T 1 1 + B = T 1

Como e 0 = 1 .

D + T 2 + B T 1 1 + B = T 1

D = T 1 - T 2

Substituindo D na nossa equação de T .

T = ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Passo 5

b) A questão pede pra gente calcular o limite dessa função T que achamos na letra a quando t → ∞ . Vamos colocar a mão na massa.

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Vamos relembrar que lim t → ∞ ⁡ e a t = 0   quando a < 0 . Dessa forma.

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t 1 + B = 0

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B = T 2 + B T 1 1 + B

Passo 6

c) A questão pede pra gente calcular o limite dessa função T m quando t → ∞ .

T m = T 2 + B T 1 - T

lim t → ∞ ⁡ T m = lim t → ∞ ⁡ T 2 + B T 1 - T

lim t → ∞ ⁡ T 2 + B T 1 - T = T 2 + B T 1 - B lim t → ∞ ⁡ T

Calculamos no item anterior que lim t → ∞ ⁡ T = T 2 + B T 1 1 + B .

lim t → ∞ ⁡ T m = T 2 + B T 1 - B T 2 + B T 1 1 + B = B T 1 + T 2 1 + B

Resposta

a)

T = ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

b)

T 2 + B T 1 1 + B

c)

B T 1 + T 2 1 + B

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