Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2019.1, Questão 9

Uma cultura de bactérias começa com 500   bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Após 2 horas existem 8000 bactérias na amostra. Em 4 horas serão:

  1. 250000 bactérias
  2. 16000 bactérias
  3. 128000 bactérias
  4. 100000 bactérias
  5. 32000 bactérias

Passo 1

A questão deu para gente uma relação entre um valor e a taxa de variação dele. Isso é o mesmo que uma relação entre uma função e a derivada dela, o que é uma equação diferencial!

Então a gente precisa montar uma EDO e resolver ela, usando os dados que ele deu no enunciado. Então, sendo a quantidade de bactérias y t :

y 0 = 500 ,     y 2 = 8000

Com isso a gente consegue achar y 4 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ele diz que a taxa de variação da quantidade de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias. Logo:

d y d t = k y

Passo 3

Essa equação é típica de um problema de modelagem de crescimento populacional. Ela é separável e a solução dela é da forma:

y ( t ) = D e k t

(sim, é bom ter essa solução gravada)

Passo 4

Agora a gente precisa descobrir esse D e esse k .

Vamos usar aquelas informações do enunciado:

y 0 = 500 ,     y 2 = 8000

Usando a primeira informação:

y ( t ) = D e k t

y 0 = D e k ⋅ 0 = 500 ∴ D 1 = 500 ∴ D = 500

Agora usando a segunda:

y 2 = 500 e k 2 = 8000 ∴ e 2 k = 16

ln ⁡ e 2 k = ln ⁡ 16 ∴ 2 k = ln ⁡ 16 ∴ k = ln ⁡ 16 2    

Então:

y t = 500   e ln ⁡ 16 2   t

Passo 5

Com y t , podemos achar y ( 4 ) :

y 4 = 500   e ln ⁡ 16 2   4 = 500   e 2 ln ⁡ 16

Vamos usar umas propriedades de logaritmos para fazer essa conta:

y 4 = 500   e 2 ln ⁡ 16 = 500   e ln ⁡ 16 2 = 500 ⋅ 16 2 = 128000  

Logo, a nossa resposta é a letra c.

Resposta

Letra c

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