Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 14, Questão 29

Suponha que uma gota d’água esférica evapore a taxa proporcional à área de sua superfície. Se o raio mede originalmente 3 mm e 1 h depois foi reduzido a 2 mm, encontre a expressão do raio em função do tempo.

Passo 1

A gota d’água evapora a uma taxa proporcional a área da superfície. Então, podemos representar a área da superfície pela relação

A t = A 0 ⋅ B t

Em que A 0 é a área da superfície no instante inicial e B é uma constante a determinar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com A 0 , de forma geral, a área da superfície é dada pela expressão

A = 4 π R 2

Como no caso o raio inicial é 3 mm, então: A 0 = 4 π ⋅ 3 2 = 36 π   m m 2

Passo 3

Agora vamos para B usando os dados do problema. Considerando t em horas, para t = 1 h, o raio vai ter reduzido para R = 2 mm, então temos: A 1 = 36 π ⋅ B 1

Sendo:

A 1 = 4 π 2 2 = 16 π   m m 2

Assim, vamos ter: 36 π B = 16 π ⟹ B = 4 9

E nossa expressão para área será:

A t = A 0 ⋅ B t

A t = 36 π ⋅ 4 9 t

Passo 4

Legal, encontramos a expressão para área, mas o problema quer saber do raio, substituímos a relação então: A t = 36 π ⋅ 4 9 t  

4 π R 2 = 36 π ⋅ 4 9 t  

Isolando o raio, teremos: R 2 = 9 4 9 t

R = 3 ⋅ 2 3 t

Resposta

R = 3 ⋅ 2 3 t

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