Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G4 - 2016.2, Questão 4

Um tanque contém 1200 litros de água salgada com 20   k g de sal dissolvido. Água salgada com 0,04   k g de sal por lto de água entra no tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. A solução é mantida completamente misturada e sai do tanque a uma taxa de 10 litros por minuto.

  1. Escreva a equação diferencial que determina a taxa de variação da quantidade de sal em relação ao tempo.
  2. Determine a quantidade de sal no tanque t minutos após o inicio.
  3. Determine a quantidade de sal no tanque 20 minutos após o inicio.
  4. Calcule o limite da quantidade de sal no tanque quanto t → ∞ .

Passo 1

Letra a) Antes de mais nada, temos que ter bem em mente nesse problema quem a gente quer.

Pow, queremos a variação da quantidade de sal na caixa em relação ao tempo, e pensa um pouco, o que é essa variação, ou melhor quem é essa variação?

A derivada!

Então se a gente chamar a quantidade de sal na caixa em um tempo t de... sei lá, x (no caso x t ), o que a gente quer é alguma expressão com

d x t d t

Cara, pra gente saber qual é a taxa de variação do sal dentro da caixa, basta a gente fazer

d x t d t = t a x a   q u e   e n t r a - t a x a   q u e   s a i

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que a água entra no tanque com uma taxa de 10 litros por minuto e a gente sabe também que a quantidade de sal presente em um litro de água que sai é 0,04   k g .

Então pensa, a taxa de sal que entra na caixa é

t a x a   q u e   e n t r a = 0,04 ∙ 10 k g m i n u t o .

Outra informação importante que tiramos do enunciado é que a água sai da caixa em uma taxa de também 10 litros por minuto (mantendo o volume na caixa sempre constante, percebeu?).

Passo 3

AGORA IMPORTANTE! Isso não significa que a quantidade o sal que vai sair da caixa é exatamente a mesma coisa que entra.

Isso porque quando o sal entra, ele se dissolve em um volume de água de 1200 litros, que, além disso, até mesmo contêm certa quantidade de sal lá dentro.

Então para a gente determinar a taxa de sal que está saindo, vamos pegar a quantidade de sal total na caixa,

x

dividir pelo volume total para a gente achar a concentração,

x 1200

para então usar a informação de que essa água sai a 10 litros por minuto, então a quantidade de sal que vai embora por minuto é

t a x a   q u e   s a i = x 1200 ∙ 10 k g m i n

Passo 4

Voltando ao problema

d x t d t = t a x a   q u e   e n t r a - t a x a   q u e   s a i

d x t d t = 0,04 ∙ 10 - x 1200 ∙ 10

d x t d t = 0,4 - x 120

Passo 5

Letra b) Aqui na verdade queremos a solução da EDO acima, bora?

d x t d t = 0,4 - x 120

Vamos dar uma ajeitadinha nisso aí...

d x d t = 0,4 ∙ 120 120 - x 120   →

d x d t = 48 - x 120

Pow, podemos resolver essa EDO, por variáveis separáveis, ou seja, vamos jogar tudo que é x para um lado, e tudo que é t para o outro

d x 48 - x = d t 120

Agora integrando dos dois lados

∫ d x 48 - x = ∫ d t 120

Basta calcular então essas duas integrais aí e o problema se resolve ;)

A integral de lá já sai com tranquilidade

∫ d x 48 - x = 1 120 t + c

Passo 6

Enquanto que a integral ∫ d x 48 - x , deveremos antes fazer uma substituição simples, do tipo

48 - x = a               ⇒ P o r t a n t o                 d a = - d x             o u               d x = - d a

Substituindo tudo, teremos...

  ∫ d x 48 - x =   ∫ - d a a =

- ln ⁡ a

voltando com a variável original

∫ d x 48 - x = - ln ⁡ 48 - x

Nessa integral, não precisamos colocar a constante, pois agora nós vamos...

Passo 7

igualar as duas integrais. Como uma já tem constante, é inútil adicionar mais uma, percebeu?

∫ d x 48 - x = 1 120 t + c →

- ln ⁡ 48 - x = 1 120 t + c

Multiplicando por - 1

ln ⁡ 48 - x = - t 120 - c

Extraindo a exponencial de ambos os lados

e ln ⁡ 48 - x = e - t 120 - c

48 - x = e - t 120 - c

Podemos separar a exponencial

48 - x = e - t 120 ∙ e - c

exponencial de uma constante qualquer, também é uma constante qualquer A

48 - x = A e - t 120

isolando o x

x t = 48 - A e - t 120

Passo 8

Calma que ainda não acabamos esse item! rsrs Ainda falta encontrar o A dessa equação, o que pode ser feito lembrando do dado inicial do problema ou seja no tempo t = 0 (tempo inicial) a caixa tinha 20   k g de sal, portanto

x 0 = 20 →

x 0 = 48 - A e - 0 120 = 48 - A

Logo

48 - A = 20         →             A = 28

Portanto a solução é

x t = 48 - 28 e - t 120

Passo 9

Letra c) No tempo t = 20 minutos, basta substituir na equação que encontramos...

x 20 = 48 - 28 e - 20 120 →

x 20 = 48 - 28 e - 1 6

Passo 10

Letra d) Pow, aqui basta aplicar aquele limite lá na equação que obtivemos

lim t → ∞ ⁡ x t = lim t → ∞ ⁡ 48 - 48 e - t 120

Como o limite da subtração é a subtração dos limites...

lim t → ∞ ⁡ 48 - lim t → ∞ ⁡ 48 e - t 120 ⁡

Como 48 e - t 120 = 48 e t 120 ,

lim t → ∞ ⁡ 48 e - t 120 = lim t → ∞ ⁡ 48 e t 120

quando t → ∞ , então esse limite vai a z e r o , portanto

lim t → ∞ ⁡ 48 - lim t → ∞ ⁡ 48 e - t 120 =

lim t → ∞ ⁡ 48 = 48

Resposta

Letra a)

d x t d t = 0,4 - x 120

Letra b)

x t = 48 - 28 e - t 120

Letra c) x 20 = 48 - 28 e - 1 6

Letra d)

48

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