Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G4 - 2014.2, Questão 4

Uma tigela de sopa sai do aparelho de micro-ondas a 80 ℃ e é levada para uma sala onde a temperatura é de 25 ℃ . A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. Sabemos também que esta sopa esfria a uma taxa de 1 ℃ por minuto quando sua temperatura é de 60 ℃ :

a Escreva a equação diferencial que expressa a lei de resfriamento de Newton nesta situação particular.

b Resolva a equação diferencial e determine a temperatura da sopa meia hora após ter chegado à sala.

c Esboce um gráfico que represente a temperatura da sopa a partir do momento que chegou a sala.

Passo 1

a)

Vamos com calma, você não precisa saber a lei de resfriamento de Newton. Isso é Cálculo, repara que ele explicou direitinho como é essa lei né? Vamos entender bem essa parada.

Primeiro vamos fazer y t sendo a temperatura em . Esse t vai ser o tempo, repara que no enunciado ele depois da uma taxa em por minuto, assim vamos fazer t em minutos para facilitar nossa vida.

Ele disse que a lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. Taxa de resfriamento que dizer a taxa que varia a temperatura, ou seja, a derivada de y t . Depois ele fala que ela é proporcional a diferença de temperatura entre o objeto e a sua vizinhança. Isso quer dizer que

y ' t = k y t - T v i z i n h a n ç a

Quando ele diz que é proporcional a diferença quer dizer que ele é a diferença vezes uma constante, que nesse caso chamamos de k .

No enunciado ele diz que a temperatura na vizinhança vai ser

T v i z i n h a n ç a = 25 ℃

Então vamos ter a seguinte EDO para achar y

y ' t = k y t - 25

Passo 2

Você pode olhar e achar que está certinha essa EDO né? Mas temos um k ali. Precisamos achar o seu valor. Repara que ele diz no enunciado que

“esta sopa esfria a uma taxa de 1 ℃ por minuto quando sua temperatura é de 60 ℃ :”

Isso nos diz que

y ' t = - 1 ℃ / m i n → y t = 60 ℃

A taxa vai ser - 1 porque a temperatura está diminuindo. Então

- 1 = k 60 - 25

- 1 = 35 k

k = - 1 35   m i n - 1

A nossa EDO vai ser

y ' t = - y t - 25 35

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Repara que do lado direito temos uma função de y , isso nos dá uma evidência que essa EDO é separável, vamos trocar y ' por d y d t

d y d t = - y - 25 35

Agora temos que multiplicar cruzado, deixando tudo que tem y na esquerda e tudo que tem x na direita. Vamos ter

d y y - 25 = - d t 35

Agora temos que integrar os dois lados

∫ d y y - 25 = ∫ - d t 35

Resolvendo as integrais vamos ter

ln ⁡ y - 25 = - t 35 + C

Vamos isolar y agora

y - 25 = e - t 35 + C

y - 25 = e C e - t 35

Podemos fazer

e C = C '

E ter

y - 25 = C ' e - t 35

Para tirar aquele módulo vamos ter

y - 25 = ± C ' e - t 35

Por mais estranho que pareça, podemos fazer

± C ' = D

Isso porque aquilo nada mais é que uma constante, como vamos ter uma solução só vamos acabar achando a mesma solução neste caso

A solução geral vai ser

y = 25 + D e - t 35

Passo 3

Falta achar o valor de D né? Repara que ele deu a temperatura inicial dessa parada, ou seja,

y 0 = 80

Vamos substituir isso na equação que achamos

80 = 25 + D e - 0 35

80 = 25 + D

D = 55

A nossa Equação vai ficar

y = 25 + 55 e - t 35

Passo 4

Vamos agora achar o valor da temperatura depois de meia hora, ou seja, t = 30

y = 25 + 55 e - 30 35

y = 25 + 55 e - 6 7

Aqui não tem muito o que fazer não, vamos deixar assim

Passo 5

c)

A nossa função vai ser

y = 25 + 55 e - t 35

Ele agora quer o gráfico dessa parada.

Repara que isso é uma função exponencial, a função exponencial normalmente tem o seguinte gráfico

Isso se tivéssemos e x , mas na verdade temos aquele expoente negativo, isso vai fazer a função ficar ao contrário. Além disso, a função vai começar em 80 , falta descobrir para qual valor ela se aproxima quando t → + ∞

Vamos fazer esse limite

lim t → ∞ ⁡ y t = lim t → ∞ ⁡ 25 + 55 e - t 35 = 25 + 55 . e - ∞ = 25

Então vamos ter

Aquela reta vermelha é y = 25 , que é a assíntota dessa função.

Resposta

a)

y ' t = - y t - 25 35

b)

y = 25 + 55 e - t 35

y = 25 + 55 e - 6 7

c)

Aquela reta vermelha é y = 25 , que é a assíntota dessa função.

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