Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

UFRJ, Cálculo 2, P1 2016.1, questão 3

Um tanque contém 100   L de água. Uma solução com concentração salina de 0,5   k g / L é adicionada a uma taxa de 2 + 2 s e n t   L / m i n . A solução é mantida misturada e é retirada do tanque a uma taxa de 2   L / m i n . Se y t é a quantidade de sal (em k g ) após t minutos, qual a equação diferencial que modela essa mistura ?

Passo 1

Primeira coisa a fazer é lembrar que, em questões de mistura, podemos modelar o problema da seguinte forma:

d y d t = T a x a   d e   s a l   q u e     e n t r a - [ T a x a   d e   s a l   q u e   s a i ]

Lembrando que d y d t expressa a taxa de variação da quantidade de sal no decorrer do tempo, logo faz sentido que essa medida seja expressa em k g m i n .

Logo, também faz sentido que as taxas de entrada e de saída também tenham dimensão k g m i n .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular a taxa de sal que entra no tanque. Temos:

T a x a   d e   s a l   q u e   e n t r a = c o n c e n t r a ç ã o   d e   s a l   d a   s o l u ç ã o * [ t a x a   d e   e n t r a d a   d a   s o l . ]

Substituindo os valores fornecidos no problema, temos:

T a x a   d e   s a l   q u e     e n t r a = 0,5   k g L * 2 + 2 s e n t L m i n = 1 + s e n t   k g m i n

Passo 3

Falta calcular a taxa de sal que sai do tanque. Temos:

T a x a   d e   s a l   q u e     s a i = c o n c e n t r a ç ã o   d e   s a l   n o   t a n q u e * [ t a x a   d e   r e t i r a d a ]

A taxa de retirada é fornecida diretamente pelo problema:

t a x a   d e   r e t i r a d a = 2   L m i n

Agora temos de encontrar a concentração de sal no tanque.

Se pararmos para pensar, conseguimos perceber que a concentração de sal no tanque em um instante t é a quantidade de sal no tanque naquele instante t , dividido peloo volume do tanque naquele instante. Ou seja:

c o n c e n t r a ç ã o   d e   s a l   n o   t a n q u e = y v o l u m e   k g L

Passo 4

Então, só nos falta encontrar o volume do tanque. Uma solução é adicionada a taxa 2 + 2 s e n t   L m i n , porém ocorre uma retirada na taxa de 2   L m i n .

Portanto, a taxa de variação real que o tanque está sujeito é:

2 + 2 s e n t - 2 = 2 s e n t L m i n

Agora, vem o “pulo do gato”. Pense, se você tem a taxa de variação do volume, como você pode encontrar a variação de volume em um determinado intervalo?

Isso mesmo, integrando a taxa de variação do volume. Portanto, o volume do tanque é dado por:

v t = 100 + ∫ 0 t 2 s e n t d t

Resolvendo essa integral temos:

v t = 100 - 2 cos ⁡ t t 0 = 100 - 2 cos ⁡ t - - 2 = 102 - 2 cos ⁡ t L

Passo 5

Substituindo na taxa que sai, temos:

T a x a   d e   s a l   q u e     s a i = c o n c e n t r a ç ã o   d e   s a l   n o   t a n q u e * [ t a x a   d e   r e t i r a d a ]

T a x a   d e   s a l   q u e     s a i = y 102 - 2 cos ⁡ t *   2

T a x a   d e   s a l   q u e     s a i = 2 y 102 - 2 cos ⁡ t = y 51 - cos ⁡ t

Passo 6

Enfim, chegamos a :

d y d t = T a x a   d e   s a l   q u e     e n t r a - [ T a x a   d e   s a l   q u e   s a i ]

d y d t = 1 + s e n t - y 51 - cos ⁡ t

Resposta

d y d t = 1 + s e n t - y 51 - cos ⁡ t

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