Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

UFRJ, Cálculo 2, P1 2014.1, questão Múltipla Escolha 5

Um tanque possui 20 litros de solução com cloro numa concentração de 4   m g / l . Adiciona-se água ao tanque por uma mangueira numa taxa de 2   l / m i n contendo 3   m g / l de cloro e a solução homogênea sai do tanque por um orifício em sua base com vazão de 4   l / m i n . A quantidade Q t de cloro da solução homogênea no tanque no instante t é solução do seguinte problema com condição inicial:

  1. d Q d t + 4 20 - 2 t Q = 6   e   Q 0 = 80
  2. d Q d t + 4 20 + 2 t Q = 6   e   Q 0 = 80
  3. d Q d t + 4 4 - 2 t Q = 6   e   Q 0 = 80
  4. d Q d t + 4 20 - 2 t Q = 6   e   Q 0 = 4
  5. d Q d t + 2 t Q = 6   e   Q 0 = 80

Passo 1

Primeira coisa a fazer é lembrar que, em questões de mistura, podemos modelar o problema da seguinte forma:

d Q d t = T a x a   d e   c l o r o   q u e     e n t r a - [ T a x a   d e   c l o r o   q u e   s a i ]

Lembrando que d Q d t expressa a taxa de variação da quantidade de cloro no decorrer do tempo, logo faz sentido que essa medida seja expressa em m g m i n .

Logo, também faz sentido que as taxas de entrada e de saída também tenham dimensão m g m i n .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular a taxa de cloro que entra no tanque. Temos:

T a x a   d e   c l o r o   q u e   e n t r a = c o n c e n t r a ç ã o   d e   c l o r o   d a   s o l u ç ã o x [ t a x a   d e   e n t r a d a   d a   s o l . ]

Substituindo os valores fornecidos no problema, temos:

T a x a   d e   c l o r o   q u e     e n t r a = 3   m g L x 2 L m i n = 6   m g m i n

Passo 3

Falta calcular a taxa de cloro que sai do tanque. Temos:

T a x a   d e   c l o r o   q u e     s a i = c o n c e n t r a ç ã o   d e   c l o r o   n o   t a n q u e x [ t a x a   d e   r e t i r a d a ]

A taxa de retirada é fornecida diretamente pelo problema:

t a x a   d e   r e t i r a d a = 4   L m i n

Agora temos de encontrar a concentração de sal no tanque.

Se pararmos para pensar, conseguimos perceber que a concentração de cloro no tanque em um instante t é a quantidade de cloro no tanque naquele instante t , dividido pelo volume do tanque naquele instante. Ou seja:

c o n c e n t r a ç ã o   d e   s a l   n o   t a n q u e = Q 20 - 2 t   m g m i n

O denominador é 20 - 2 t pois esse é a quantidade de líquido no interior do tanque, incialmente tinha 20 e perde 2 L / m i n

Passo 4

Vamos concluir nosso raciocínio, a quantidade de cloro no tanque é tal que:

d Q d t = 6 - 4 Q 20 - 2 t

d Q d t + 4 Q 20 - 2 t = 6

Vale lembrar também que a quantidade de cloro inicial é 20 * 4 = 80 m g , ou seja:

Q 0 = 80

Resposta

  1. d Q d t + 4 Q 20 - 2 t = 6   e   Q 0 = 80

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