Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Corpos Rígidos, Momento Linear, Rotação, Dinâmica de Rotação

Considere um sistema de cinco objetos puntiformes dispostos em um plano de acordo com a figura a seguir. Cada um dos quatro objetos periféricos possui massa igual a m , enquanto que o quinto, localizado na origem do sistema de coordenadas indicado na figura, tem massa 2 m . Eles são unidos por hastes rígidas e de massas desprezíveis.

a ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo passando pelos objetos 2 e 3 .

b ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pela origem.

c ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto M indicado na figura.

d ) O sistema, inicialmente em repouso, recebe um impulso p → conforme ilustra a figura. Qual é a velocidade subsequente do centro de massa? Escreva sua resposta em função de m , d e p = | p → | .

e ) Ainda considerando a situação descrita no item anterior, qual é a velocidade angular do sistema, em torno de seu centro de massa, imediatamente após o impulso? Escreva sua resposta em função de m , d e p = | p → | .

f ) Após o impulso o sistema passa a rodar no sentido anti-horário do plano. Seja m = 0,1   k g e d = 0,2   m . Obtenha o módulo e o sentido do torque aplicado no sistema por uma força resistiva, sabendo que a velocidade angular decresce linearmente de ω i = 2   r a d / s até ω f = 0   r a d / s em 4 segundos.

Passo 1

a )

O momento de inércia em corpos pontuais pode ser encontrado da seguinte forma:

I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 + m 3 r 3 2 + m 4 r 4 2 + m 5 r 5 2

I = m r 1 2 + r 2 2 + r 3 2 + r 4 2 + 2 r 5 2

Como o eixo de rotação está passando pelos objetos 2 e 3, temos que as distâncias até o eixo de rotação serão:

r 2 = r 3 = 0

r 1 = r 4 = 2 d

r 5 = d

Logo:

I 23 = m 2 d 2 + 0 + 0 + 2 d 2 + 2 d 2

I 23 = 10 m d 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Temos agora o eixo passando perpendicularmente ao objeto 5. Então os vetores posições serão agora:

r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = d 2

r 5 = 0

I 5 = m 4 d 2 2

I 5 = 8 m d 2

Passo 3

c )

Utilizando o teorema dos eixos paralelos:

I M = I 5 + M l 2

Onde I 5 é o momento de inércia do item anterior.

M = m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 = 6 m

l = d

Logo:

I M = 8 m d 2 + 6 m d 2

I M = 14 m d 2

Passo 4

d )

Aplicando a fórmula do momento linear:

p → = m . v →

p = M V C M

p = 6 m V C M

V C M = p 6 m

Passo 5

e )

Calculando o momento angular por:

L → = r → × p →

Ou seja, produto vetorial entre o momento linear e a distância ao eixo, que no nesse caso como o eixo é perpendicular ao objeto 5, a distância é d , portanto:

L → = d p k →

Entretanto também temos outra forma de calcular o momento angular:

L → = I ω →

Lembrando que estamos usando o eixo perpendicular ao objeto 5, então:

L → = I 5 ω →

L → = 8 m d 2 ω k →

Agora podemos igualar os dois valores de L →

d p k → = 8 m d 2 ω k →

ω = p 8 m d

Passo 6

f )

Como ω decresce linearmente, temos α constante. Logo, podemos utilizar:

ω = ω 0 + α t

0 = 2 + α . 4

α → = - 0,5   r a d / s 2   k →  

Com os valores fornecidos para m e d temos:

I = 8 m d 2

I = 8   .   0,1   .   0,2 2 = 0,032   k g · m 2

Lembrando que o torque pode ser calculado por:

τ → = I α →

Temos:

τ → = - 0,016   N · m   k →

Resposta

a )   I 23 = 10 m d 2

b ) I 5 = 8 m d 2

c ) I M = 14 m d 2

d )   V C M = p 6 m

e )   ω = p 8 m d

f )   τ → = - 0,016   N · m   k →

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