Exercícios Resolvidos de Momento Angular

USP, Física 1, P3 - 2017, Questão ME2

Duas partículas, com massas Equation e Equation , estão ligadas por uma haste de massa desprezível e comprimento Equation , conforme indicado na figura abaixo.

Em um determinado instante de tempo Equation , o sistema começa a girar no plano Equation em torno de um eixo de rotação que passa pelo centro da haste. Sabendo que o momento de inércia do sistema em relação ao eixo de rotação é Equation , quando o módulo da velocidade radial de cada partícula é Equation , o comprimento da haste é dado por:

(a) Equation

(b) Equation

(c) Equation

(d) Equation

(e) Equation

Passo 1

Primeiro ponto importante é que a haste tem massa desprezível, assim, nosso problema apresenta apenas duas partículas pontuais de massas Equation e Equation .

Queremos o comprimento Equation da haste.

Mas como vamos achar isso?

Olhando para o enunciado, temos como dados a velocidade Equation das partículas e o momento de inércia Equation do sistema, além das duas massas Equation e Equation .

OBS: Os dados não necessariamente são valores numéricos. Porém, tratamos como informações conhecidas no problema e assim, podem aparecer na resposta final.

Dá uma olhada nas expressões para o momento angular Equation :

Equation

Equation

A primeira é para calculada quando temos o momento de inércia de um sistema, já a segunda, é apenas para partículas.

Como temos um sistema de partículas e já sabemos seu momento de inércia Equation , podemos utilizar ambas as expressões.

Então, vamos fazer o seguinte...

Calculamos o momento angular das duas maneiras e depois igualamos essas duas expressões.

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira forma é bem direta:

Equation

Mas não sabemos quem é Equation , então podemos relacionar isso com a velocidade Equation a partir de:

Equation

Equation

O raio é a metade do comprimento da haste, então:

Equation

Logo, temos:

Equation

Equation

Substituindo isso em Equation , ficamos com:

Equation

Passo 3

Vamos ao cálculo do momento angular Equation com a segunda expressão.

Cada partícula apresenta um momento angular dado por:

Equation

Então:

Equation

Equation

Sendo que, novamente, o raio Equation é metade do comprimento da haste:

Equation

Passo 4

Prontinho, podemos igualar os dois e ser feliz:

Equation

Equation

Cortando Equation , temos:

Equation

Logo:

Equation

Equation

Resposta

Letra (a)

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