Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Momento Angular

Uma esfera de massa 4,0 𝑘𝑔 e um cubo de massa 2,0 𝑘𝑔 estão conectados por uma corda inextensível e de massa de desprezível. A corda passa por uma roldana de raio 1,0 𝑚 e massa 2,0 𝑘𝑔 que tem a forma de um disco como ilustrado esquematicamente na figura ao lado. Ambos os corpos estão com velocidade de módulo igual a 𝑣 (𝑚/𝑠). Calcule em k g m 2 / s o módulo do momento angular do sistema em relação ao centro da roldana.

(a) 2 v

(b) 6 v

(c) 7 v

(d) 3 v

(e) 9 v

Passo 1

O sistema é composta de 3 partículas: o cubo, a roldana e a esfera. Então o momento angular total L t o t do sistema em relação ao centro da roldana é a soma dos momentos angulares das 3 partículas em relação ao centro da roldana.

E temos 2 maneiras de calcular o momento angular:

L → = I ω →

e

L → = r → × m v → ,

onde r → é o vetor posição, também chamado de braço da alavanca (que nem vimos pro torque!).

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Passo 2

A roldana é um disco então seu momento de inércia é:

I r o l d a n a = 1 2 m R 2

E como sua massa e seu raio são, respectivamente, m = 2   k g e R = 1 , isso dá:

I r o l d a n a = 2 2 = 1   k g m 2

Passo 3

Vamos calcular o momento angular do cubo em relação ao centro da roldana, usando a fórmula

L → = r → × m v →

O que, em módulo, dá:

L = r → ⋅ m ⋅ v

Observando a figura com carinho, podemos ver que o braço da alavanca é o raio da roldana!

Ou seja,

r → c u b o = r

E como a massa do cubo é m = 2   k g , obtemos:

L c u b o = r ⋅ 2   ⋅ v = 2 v

Passo 4

Agora vamos pro momento angular da roldana! Dessa vez vamos usar a fórmula

L → = I ω →

Ou, usando os módulos:

L = I ω

Temos

v = ω R

⇒ ω = v r = v 1 = v ,

e já vimos que

I r o l d a n a = 1

Logo,

L r o l d a n a = 1 ⋅ v = v

Passo 5

Beleza, agora só falta o momento angular da esfera!

Assim como pro cubo, o vetor r → , braço da alavanca, tem módulo r :

E como a esfera tem massa m = 4   k g , o módulo do seu momento angular é:

L e s f e r a = r ⋅ 4 ⋅ v = 4 v

Passo 6

Show! Então somando tudo:

L t o t = L c u b o + L r o l d a n a + L e s f e r a

⇒ L t o t = 2 v + v + 4 v = 7 v

Resposta

Alternativa (c)

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