Exercícios Resolvidos de Momento Angular

UNICAMP, Física 1, P3 - 2017.2 Diurno, Questão D.d

Uma haste longa e fina de massa Equation e comprimento Equation é livre para girar sobre um ponto localizado a Equation de seu comprimento. A haste é posicionada na posição horizontal, como mostrado na figura Equation , por um fio preso na extremidade:

Em um dado momento o fio é cortado e a haste fica livre para girar em torno do eixo.

Dados: Momento de inércia em relação ao eixo de rotação perpendicular a haste e passando pelo pivô é Equation

(d) Determine o momento angular da haste relativo ao pivô no momento em que a haste alcança a posição vertical.

Passo 1

O momento angular é dado por:

Equation

Já temos o momento de inércia, porém, não temos a velocidade angular Equation .

Como podemos achar isso?

Vamos lá...

No momento em que o fio é cortado, temos apenas as duas forças atuando sobre a haste... peso Equation e normal Equation :

Como a força normal Equation está aplicada em um ponto que não tem translação, seu trabalho é nulo:

Equation

Assim, ela não retira energia do sistema mesmo sendo uma força não-conservativa.

Já a força peso realiza um certo trabalho, porém ela é uma força conservativa. Então ela realiza trabalho convertendo energia potencial em cinética. Ou seja, também não vai retirar energia do sistema.

Logo podemos dizer que a energia mecânica do sistema se conserva:

Equation

Com isso conseguimos achar a velocidade angular Equation , quando a barra estiver vertical e calcular finalmente o momento angular Equation que queremos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos à conservação.

Inicialmente temos apenas energia potencial gravitacional:

Equation

E na parte de baixo, vamos considerar uma energia potencial gravitacional nula, então temos apenas energia cinética de rotação:

Equation

Então, nossa equação fica assim:

Equation

Equation

Mas quem é essa altura Equation ?

Passo 3

Essa altura Equation será a altura que o centro de massa desceu:

Equation

Equation

Passo 4

Então, temos que:

Equation

Equation

Substituindo o valor do momento de inércia, temos:

Equation

Equation

Equation

Cortando Equation :

Equation

Equation

Equation

Passo 5

Agora que temos Equation , podemos calcular Equation :

Equation

Substituindo os valores, temos:

Equation

Podemos entrar com os números na raiz para simplificar:

Equation

Equation

Equation

Equation

Resposta

(d) Equation Equation

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