Exercícios Resolvidos de Momento Angular

USP, Física 1, P3 - 2014, Questão 1

Imagine que um objeto de perfil circular (com raio Equation , massa Equation e momento de inércia Equation ) seja colocado no ponto Equation da canaleta ilustrada abaixo com velocidade inicial nula. O atrito entre esse objeto e a canaleta é suficiente para que ele role sem deslizar e a resistência do ar é desprezível.

Equation Esboce o diagrama das forças que agem sobre o objeto quando ele está no ponto Equation da trajetória e escreva as equações do movimento, de translação e de rotação (não é necessário resolvê-las).

Equation O ponto Equation da trajetória indica o ponto mais alto que o objeto atinge após ser atirado verticalmente para cima, em Equation . Explique em até duas linhas legíveis porque a velocidade angular do objeto, em torno do seu centro de massa, em Equation e em Equation são iguais.

Equation Considere os seguintes perfis de densidade para o objeto (quanto mais escuro, mais denso), todos com a mesma massa. Liste-os, em ordem crescente de momento de inércia.

Equation Para qual dos perfis acima o corpo sobe mais (ou seja, a distância Equation é menor)?

Equation Calcule a altura Equation em função dos parâmetros Equation , Equation , Equation , Equation e Equation .

Passo 1

Equation

Bom visto que o corpo não possui movimento na vertical, ao decompor a força Peso podemos construir a relação:

Equation

Sendo θ o ângulo de inclinação entre o plano e a horizontal.

Aplicando a segunda lei de Newton na horizontal Equation :

Equation

Equation

Aplicando a Lei de rotação Equation :

Equation

Apenas a força de atrito faz torque no objeto. Lembrando que o torque nada mais é que o produto vetorial entre a força aplicada e a distância do ponto de aplicação ao eixo de rotação.

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation

Basta lembrar que:

Equation

Ou seja, A partir do ponto Equation , a força de atrito que produzia torque no objeto não existe mais, e se não tiver torque, o momento angular tem que ser constante. Lembrando que Equation , e que o momento de inercia é constante. Logo, a velocidade angular obrigatoriamente tem que ser constante!

Passo 3

Equation

Visto que o momento de inércia é calculado por:

Equation

Para maximizar o momento de inércia, pela fórmula, o vetor Equation (distância ao eixo de rotação) precisa ser o maior possível considerando objetos de mesma massa.

Logo, quanto mais massa concentrada próxima ao eixo de rotação, menor o momento de inércia.

Temos então a ordem dos perfis: 2, 3, 1 e 4.

Passo 4

Equation

Utilizando a conservação de energia mecânica do ponto Equation ao Equation temos que:

Equation

Então observamos que se a energia de rotação diminuir, isso terá que ser compensado com um aumento na energia potencial, diminuindo Equation .

Logo, para diminuir a energia de rotação precisamos escolher o objeto com o menor momento de inércia, que é o perfil 2.

Passo 5

Equation

A energia mecânica do objeto nos pontos da canaleta são:

Equation

Equation

Equation

Utilizando a condição de não deslizamento Equation e lembrando que Equation (item Equation ), as expressões podem ser reescritas assim:

Equation

Equation

Equation

Equation

Como a força gravitacional é conservativa e a força de atrito, responsável pelo rolamento do objeto, não realiza trabalho (pois não há deslizamento), a energia mecânica é conservada. Logo, Equation . Para obter a altura Equation igualamos as energias em Equation e em Equation :

Equation

Equation

Equation

Mas ainda não conhecemos Equation . Para isso, escrevemos:

Equation

Equation

Equation

Substituindo em Equation :

Equation

Equation

Dividindo o numerador e denominador por Equation :

Equation

Resposta

Equation

Translação:

Equation

Rotação:

Equation

Equation A partir do ponto Equation , a força de atrito que produzia torque no objeto não existe mais, logo o momento angular tem que ser constante e a velocidade angular obrigatoriamente tem que ser constante.

Equation

Equation

Equation

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