Exercícios Resolvidos de Momento de Inércia e Raio de Rotação de Regiões Planas

Uma placa fina de densidade constante ρ tem a forma de um setor circular de raio a e ângulo central 2 α . Mostre que o momento de inércia em relação à bissetriz do ângulo é dado por

1 4 M a 2 1 - sen ⁡ 2 α 2 α

Onde M é a massa da placa.

Passo 1

Bem, como ele pede momento de inércia a gente sabe que com certeza vamos usar alguma dessas fórmulas:

I x = ∬ D   y 2   δ x , y d A

I y = ∬ D   x 2   δ ( x , y ) d A

Mas vamos tentar entender como que é essa placa pra sabermos como fazer isso direito.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se desenharmos essa tal placa no plano x y vamos ter alguma coisa desse tipo aqui, olha:

Ou seja, a bissetriz vai ser exatamente o eixo x , e vamos utilizar essa fórmula:

I x = ∬ D   y 2   δ x , y d A = ρ ∬ D y 2 d A

Já que ele diz que a densidade é constante.

Só que a gente vê pelo desenho que seria muito melhor descrever a região D por coordenadas polares, então vamos ver como que vai ficar!

Passo 3

Vamos lembrar como que é a mudança pra coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Então a vamos ter:

ρ ∬ D y 2 d A = ρ ∬ D - r 2 sen 2 ⁡ θ r   d r d θ

Mas agora o domínio de D - é tranquilo de ser escrito em coordenadas polares, porque temos simplesmente:

- α ≤ θ ≤ α

0 ≤ r ≤ a

Então a gente fica com:

ρ ∫ - α α ∫ 0 a r 3 sen 2 ⁡ θ d r d θ

⇒ ρ ∫ - α α sen 2 ⁡ θ r 4 4 │ 0 a d θ = ρ a 4 4 ∫ - α α 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

⇒   ρ a 4 4 θ 2 │ - α α - sen ⁡ 2 θ 4 │ - α α

⇒ ρ a 4 4 α - sen ⁡ 2 α - sen ⁡ - 2 α 4

Bem, a gente resolveu tudo, agora vamos tentar dar uma mnipulada nisso até chegarmos no resultado que ele pediu...

Passo 4

-

Primeiro, vamos lembrar que sen ⁡ θ = - sen ⁡ - θ , então vamos ter:

ρ a 4 4 α - sen ⁡ 2 α - sen ⁡ - 2 α 4 = 1 4 ρ a 4 α - sen ⁡ 2 α 2

Agora é so lembrar que a área do setor circular é:

θ 2 r 2 = 2 α 2 a 2 = α a 2

E que massa vai ser o produto da densidadecom a área:

M = ρ . α a 2

Então vamos multiplicar aquele sen ⁡ 2 α 2 no numerador e no denominador por α e vamos ter:

1 4 ρ a 4 α - sen ⁡ 2 α 2 ∙ α α = 1 4 a 2 ∙ ρ a 2 α 1 - sen ⁡ 2 α 2 α

⇒ 1 4 M a 2 1 - sen ⁡ 2 α 2 α

E pronto, finalmente chegamos lá! Essas questões de “mostre” são sempre chatinhas, hein?

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