Exercícios Resolvidos de Momento Magnético Dipolar

USP – Física III – Prova 2 – 2011 – Questão 3

Um fio condutor, curvado na forma de um semicírculo de raio R , forma um circuito fechado e é percorrido por uma corrente I . O circuito está no plano x y e um campo magnético uniforme B → está aplicado paralelamente ao eixo y , com é visto na figura.

a ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte retilínea do condutor.

b ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte curva do condutor.

c ) Determine o vetor torque exercido por B → sobre o circuito.

Passo 1

a ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte retilínea do condutor.

Por definição, a força magnética sobre uma espira é dada por:

F → = ∫ corpo   I   d l → × B →

Onde d l → está sempre na mesma direção e sentido da corrente.

No caso de um condutor retilíneo, podemos dar uma simplificada nesse cara que, agora, terá essa cara:

F → = I L → × B →

Onde, novamente, L → tem a direção e sentido da corrente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nesse problema, olhando a figura, podemos concluir que:

L → = 2 R i →

B → = B j →

Portanto:

F → r e t = I 2 R i → × B j →

F → r e t = 2 I R B i → × j →

F → r e t = 2 I R B k →

Passo 3

b ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte curva do condutor.

Aqui, como se trata se um condutor curvado, vamos usar essa expressão para a força magnética:

F → = ∫ corpo   I   d l → × B →

Beleza, vamos dar uma olhada no vetor d l → nesse caso:

Daqui podemos decompor o vetor d l → em componentes nas direções x e y .

d l → = - R sen ⁡ θ d θ i → + R cos ⁡ θ d θ j →

0 ≤ θ ≤ π

Substituindo isso na expressão de F → , teremos:

F → c u r v a = ∫ 0 π I - R sen ⁡ θ d θ i → + R cos ⁡ θ d θ j → × B j →

Agora é só organizar esse cara e fazer as contas:

F → c u r v a = - ∫ 0 π I R B sen ⁡ θ d θ   k →

F → c u r v a = - I R B ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ   k →

F → c u r v a = I R B cos ⁡ θ 0 π k →

F → c u r v a = - 2 I R B k →

Passo 4

c ) Determine o vetor torque exercido por B → sobre o circuito.

Por definição, o torque sobre uma espira é dada por:

τ → = μ → × B →

Onde μ → é o momento dipolar elétrico, definidor por:

μ → = I A →

Onde A → é o vetor cujo módulo é igual à área que do circuito, direção perpendicular ao plano do circuito e sentido dado pela regra da mão direita.

Como a corrente flui no sentido anti-horário, pela regra da mão direita, teremos:

A → = π R 2 2 k →

Logo:

μ → = I π R 2 2 k →

E, finalmente, o torque será dado por:

τ → = I π R 2 2 k → × B j →

τ → = I B π R 2 2 k →   × j →

τ → = - I B π R 2 2 i →

Resposta

a )

F → r e t = 2 I R B k →

b )

F → c u r v a = - 2 I R B k →

c )

τ → = - I B π R 2 2 i →

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