Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2014.1, Questão ME1

Considere os seguintes limites

i ) lim x , y 1,0 x y x 2 + y 2

i i )   lim x , y 0,0 x 2 x 2 + y 4

  1. i ) existe; i i ) não existe
  2. i ) existe; i i ) existe
  3. i ) não existe; i i ) existe
  4. i ) não existe; i i ) não existe
  5. Nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Vamos ver o primeiro limite, substituindo os valores de x e y

lim x , y 1,0 x y x 2 + y 2 = 1 0 1 2 + 0 2 = 0 1 = 0

Logo o limite existe

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tentar substituir valores:

lim x , y ( 0,0 ) x 2 x 2 + y 4 = 0 2 ( 0 ) 4 + ( 0 ) 4 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 3

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Também não há nenhuma função trigonométrica.

E além disso, temos x e y somados com expoentes diferentes. Então suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 4

Vamos substituir x = m y 2 para igualar os expoentes dos denominadores e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y 0,0 x 2 x 2 + y 4 = lim y 0 m y 2 2 m y 2 2 + y 4

= lim y 0 m 2 y 4 m 2 y 4 + y 4

= m 2 m 2 + 1

Então esse limite está dependendo do caminho.

Logo, não existe limite!

Passo 5

Então o primeiro limite existe enquanto o segundo limite não existe.

Resposta

Alternativa (a)

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