Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo Bidimensional

PUCRIO, Física B - FIS1026, P1 - 2015.1, Questão 1 pt1

A posição de um objeto O medida por um observador A , relativa a um sistema de coordenadas, é dada por r O A = 6 t 2 - 4 t i + - 3 t 2 j + 3 k   ( m ,   s ) . A posição deste mesmo objeto medida por um observador B , relativa a outro sistema de coordenadas é dada por r O B = 6 t 2 + 3 t i + - 3 t 2 + 2 j + 3 k   ( m ,   s ) .

a) Mostre que a aceleração do objeto O é a mesma medida por ambos observadores.

b) Determine os vetores posição e velocidade medidos pelo observador B , relativos ao observador A .

Passo 1

(a)

A aceleração nada mais é que a derivada da velocidade, que por sua vez é a derivada da posição. Então para encontrar a aceleração da partícula, basta derivar o vetor posição duas vezes:

d r O A d t = d d t 6 t 2 - 4 t i + - 3 t 2 j + 3 k

d r O A d t = 12 t - 4 i + - 6 t j

a O A = d 2 r O A d t 2 = 12 i + - 6 j   m / s 2

Agora calculando a outra partícula.

d r O B d t = d d t 6 t 2 + 3 t i + - 3 t 2 + 2 j + 3 k

d r O B d t = 12 t + 3 i + - 6 t j

a O B   = d 2 r O B d t 2 = 12 i + - 6 j   m / s 2

Ou seja, provamos que:

a O A = a O B

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Basta utilizar a fórmula da velocidade relativa só que para posição relativa, que é a mesma fórmula. Logo, vetor posição relativa, r A B , será:

r A B = r O B - r O A

r A B = 6 t 2 + 3 t i + - 3 t 2 + 2 j + 3 k - 6 t 2 - 4 t i + - 3 t 2 j + 3 k

r A B = 7 t i + 2 j   ( m ,   s )

Logo, o vetor velocidade será:

v A B = d r A B d t = 7 i   m / s

Resposta

(a)   a O A = a O B = 12 i + - 6 j   m / s 2

(b) r A B = 7 t i + 2 j   m ,   s ; v A B = 7 i   m / s

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