Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 199

Calcule W   z   d x   d y   d z , onde W é o sólido limitado pelas superfícies z = 8 - x 2 - y 2 e 2 z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido:

Temos uma semiesfera, pois não podemos ter raiz negativa z 0 e um paraboloide virado para cima.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e as equações que o limitam tem termos quadráticos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

J = r

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Substituir esses valores na equação da semi-esfera, temos:

z = 8 - r cos θ 2 - r sen θ 2

z = 8 - r 2

Agora, na equação do paraboloide:

2 z = r cos θ 2 + r   sen θ 2

2 z = r 2   z = r 2 / 2

Como os valores de z variam entre o paraboloide e a esfera, temos r 2 / 2 z 8 - r 2 . Pelo próprio gráfico, vemos que 0 θ 2 π , faltam, então, os limites de r . Já sabemos que r 0 , mas qual o seu valor máximo? Temos esse valor quando as duas superfícies se encontram, certo? Vamos, então, fazer essa interseção:

z = 8 - 2 z  

z 2 = 8 - 2 z

z 2 + 2 z - 8 = 0

O que nos dá z = 2 e z = - 4 , mas, como o ponto z = - 4 não pertence ao paraboloide nem à esfera, sabemos que as superfícies se cortam em z = 2 . Vamos descobrir, agora, que curva elas formam, substituindo esse valor na equação de uma das superfícies:

2 z = x 2 + y 2   4 = x 2 + y 2

Essa é a equação de uma circunferência de raio r = 2 , portanto, descobrimos que 0 r 2 . Então, podemos escrever a região W como:

E = { ( r , θ , z ) | 0 r 2 ; 0 θ 2 π ;   r 2 / 2 z 8 - r 2 }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

0 2 π 0 2 r 2 / 2 8 - r 2 z   r   d z   d r   d θ =

Passo 5

Integrando em relação a z , temos:

= 0 2 π 0 2 r z 2 2 z = r 2 / 2 z = 8 - r 2 d r d θ =

= 0 2 π 0 2 r 8 - r 2 2 - r   r 4 8 d r d θ =

= 0 2 π 0 2 4 r - r 3 2 - r 5 8 d r d θ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a r :

= 0 2 π 2 r 2 - r 4 8 - r 6 48 r = 0 r = 2 d θ =

= 0 2 π 8 - 2 - 4 3 d θ = 0 2 π 14 3 d θ =

Passo 7

Finamente, integramos em relação a θ :

= 14 3 θ θ = 0 θ = 2 π = 28 π 3

Resposta

28 π 3

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