Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFPE, Calculo 2, 3º EE - 2018.2, Questão 4a

Considere o sólido W que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , acima do plano z = 0 e abaixo do cone z = x 2 + y 2 3 . Calcule o volume de W utilizando coordenadas:

(a) Cilíndricas.

Passo 1

Bom, vamos começar entendendo o que a gente está estudando.

A interseção entre a esfera e o cone é uma circunferência x 2 + y 2 = 3 . Quando levada até o plano xy, forma um cone que vou plotar de azul pra você enxergar comigo.

Assim percebemos que o esboço do sólido seria o que está por dentro do cilindro e abaixo do cone, mais a parte de fora do cone, até encontrar a esfera.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nas coordenadas cilíndricas, analisando o cilindro que se forma abaixo da interseção da esfera com o cone (que está de azul na imagem).

x = r c o s θ

y = r s e n θ

z = z

J = r

Agora observando nossos intervalos, o r varia de zero até 3 , θ dá a volta completa, o que seria de zero a 2 π , e o z vai de zero até a função do cone, que é então 0 z x 2 + y 2 3 r 3

Passo 3

Analisando a pare que está dentro da esfera, mas não dentro desse cilindro, vemos que o raio vai variar do valor máximo do cilindro ( 3 ) até a periferia da esfera, 2. O θ ainda da uma volta completa (0 a 2 π ), seu z vai variar de zero até a esfera. Isolando z então

x 2 + y 2 + z 2 = 4

z = ( 4 - x 2 - y 2 ) = 4 - r 2

Colocando tudo no papel ficamos com

0 2 π 0 3 0 r 3   r   d z   d z   d θ + 0 2 π 3 2 0 4 - r 2 r d z d r d θ =

2 π 0 3 r 4 - r 2 d r =

8 π 3   u . v

Resposta

8 π 3 u . v .

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