Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

  1. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido W limitado por:
  1. y = 0 , z = 0 , x + y = 2 , 2 y + x = 6 , y 2 + z 2 = 4 ,   no primeiro octante.

Passo 1

Cara! Calculo de volume a esse altura do campeonato pra gente é uma integral tripla de 1 :

∭ W 1   d V

Não temos uma boa visualização desse sólido W por isso sempre é bom começar por aqui

Relaxa, pois fazer isso nada mais é do que desenhar todas essas superfícies aí ao mesmo tempo! Quando fazemos isso, a superfície que ganhamos no espaço é esta daqui, oh:

Pegou? :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   3 , onde temos o x variando de uma “base” até um “teto”

B a s e ≤ x ≤ T e t o       →

P l a n o   v e r d e ≤ x ≤ P l a n o   a z u l       →

2 - y ≤ x ≤ 6 - 2 y

Quanto ao y e ao z , olhemos para a projeção do sólido no plano Y Z . Bora?

Passo 3

Pow, qual é a projeção desse sólido no plano Y Z ?

Concorda que é simplesmente o arco de círculo:

E podemos descrever essa região aí em coordenadas polares né? Nesse caso, teremos:

y = r cos ⁡ θ

z = r sin ⁡ θ

E os limites ficam:

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Lembrando que estamos usando coordenadas cilíndricas, então:

x = x

y = r cos ⁡ θ

z = r sin ⁡ θ

J = r

Consequentemente isso vai alterar nossos limites de x ! Se liga:

2 - y ≤ x ≤ 6 - 2 y

2 - r cos ⁡ θ ≤ x ≤ 6 - 2 r cos ⁡ θ

Passo 5

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o x :

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 2 - r cos ⁡ θ 6 - 2 r cos ⁡ θ r d x d r d θ =

Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 2 - r cos ⁡ θ 6 - 2 r cos ⁡ θ r d x d r d θ =

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 6 - 2 r cos ⁡ θ - 2 - r cos ⁡ θ d r d θ =

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 4 - r cos ⁡ θ d r d θ =

Calculando a integral do meio

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 4 - r cos ⁡ θ d r d θ =

∫ 0 π 2 4 r 2 2 - r 3 3 cos ⁡ θ 0 2 d θ =

∫ 0 π 2 8 - 8 3 cos ⁡ θ d θ =

8 θ - 8 3 sin ⁡ θ 0 π 2 =

4 π - 8 3

Resposta

4 π - 8 3

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