Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Cilíndricas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 2, Questão 8b

  1. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido W limitado por:
  1. z = 4 - x 2 - y 2 e z = y , situado no interior do cilindro x 2 + y 2 = 1 , z 0 .

Passo 1

Cara! Calculo de volume a esse altura do campeonato pra gente é uma integral tripla de 1 :

W 1   d V

Não temos uma boa visualização desse sólido W por isso sempre é bom começar por aqui :

O sólido está no interior desse cilindro de raio 1 , x 2 + y 2 = 1 e acima do plano z = 0

Além disso, o lado direito do cilindro está sendo cortado pelo plano z = y (apenas o lado direito, porque do lado esquerdo ele passa por baixo)

Em cima, por fim, o cilindro é delimitado por esse paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 com a boca pra baixo, pois o negativo está no x 2 e no y 2 :

Eis o só lido W !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Estamos trabalhando dentro de um cilindro então não é nada mais justo que utilizemos as coordenas cilíndricas:

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

J = r

Uma equação útil é a da circunferência

x 2 + y 2 = r 2

Passo 3

É necessário que descrevamos onde cada uma dessas variáveis está variando. No caso do z , ele deve estar variando de uma “base” até um “teto”.

Porém! Preciso que você note que será necessário repartir a descrição em duas partes, pois em um lado do sólido, o z varia da base do plano escuro até o paraboloide e no outro ele começa da rampinha azul, que é o plano z = y . Veja as duas setinhas pretas mostrando esse fato:

Então, no lado esquerdo:

B a s e   P r e t a z P a r a b o l o i d e   v e r m e l h o        

                          0 z 4 - x 2 - y 2           T r o c a n d o   a s   c o o r d e n a s p e l a s   c i l i n d r i c a s

0 z 4 - x 2 + y 2                                                        

0 z 4 - r 2                                                                                      

e do lado direito:

R a m p a   a z u l z P a r a b o l o i d e   v e r m e l h o        

y z 4 - x 2 - y 2        

r sin θ z 4 - r 2                                                        

Passo 4

Precisamos também de definir a variação do raio r e também do θ :

No lado direito

O raio varia de 0 até o raio máximo que é o raio do cilindro verde

0 r 1

Enquanto que o θ inicia sua volta no zero e dá uma meia volta até o fim do lado direito(no lado que você não está enxergando):

0 θ π

No lado esquerdo

o raio continua com a mesma variação

0 r 1

Porém o ângulo θ , continua onde parou e termina o ciclo de uma vota completa

π θ 2 π

Passo 5

Concluímos então que teremos, devido essa divisão, que montar duas integrais para o calculo do volume:

No Lado Direito

r sin θ z 4 - r 2

0 r 1

0 θ π

onde ganhamos a integral tripla (não esqueça de multiplicar a função 1 pelo Jacobiano quando realiza a mudança ):

0 π 0 1 r sin θ 4 - r 2 1 J   d z d r d θ

No Lado Esquerdo

0 z 4 - r 2

0 r 1

π θ 2 π

montando essa integral...

π 2 π 0 1 0 4 - r 2 1 J   d z d r d θ

O volume de tooodo o sólido que procuramos será então...

V o l u m e W = L a d o   E s q u e r d o + L a d o   D i r e i t o

V o l u m e W = π 2 π 0 1 0 4 - r 2 1 J   d z d r d θ + 0 π 0 1 r sin θ 4 - r 2 1 J   d z d r d θ

Bora calcular essas integrais aí e matar o problema? :D

Passo 6

Vamos de Lado Esquerdo primeiro:

π 2 π 0 1 0 4 - r 2 1 J   d z d r d θ

substituindo o Jacobiano...

π 2 π 0 1 0 4 - r 2   r   d z d r d θ

Calculando a de dentro

π 2 π 0 1 r 0 4 - r 2     d z d r d θ =

π 2 π 0 1 r z 0 4 - r 2 d r d θ =

Substituindo em z ...

π 2 π 0 1 r 4 - r 2 d r d θ = π 2 π 0 1 4 r - r 3 d r d θ

π 2 π 2 r 2 - r 4 4 0 1 d θ =

e terminando a integral, obteremos...

2 - 1 4 π 2 π d θ =

7 4 2 π - π =

7 π 4

Passo 7

Vamos de Lado Direito primeiro:

0 π 0 1 r sin θ 4 - r 2 1 J   d z d r d θ

substituindo o Jacobiano...

0 π 0 1 r sin θ 4 - r 2   r   d z d r d θ

Calculando a de dentro

0 π 0 1 r r sin θ 4 - r 2     d z d r d θ =

0 π 0 1 r z r sin θ 4 - r 2 d r d θ =

Substituindo em z ...

0 π 0 1 r 4 - r 2 - r sin θ d r d θ = 0 π 0 1 4 r - r 3 - r 2 sin θ d r d θ

0 π 2 r 2 - r 4 4 - r 3 3 sin θ 0 1 d θ =

substituindo os limite de integração em r ... Cuidado para não substituir em θ !

0 π 2 - 1 4 - sin θ 3 d θ =

0 π 7 4 - sin θ 3 =

integrando em θ e substituindo...

7 4 θ + cos θ 3 0 π = 7 4 π + cos π 3 - 0 + cos 0 3 =

7 4 π - 1 3 - 1 3 =

7 4 π - 2 3

Passo 8

Duas partes de volume calculadas separadas, uma do lado direito e a outra do lado esquerdo, se queremos o volume total, basta somar:

V o l u m e W = L a d o   E s q u e r d o + L a d o   D i r e i t o

V o l u m e W = 7 4 π + 7 4 π - 2 3

V o l u m e W = 7 2 π - 2 3

Resposta

b )   7 2 π - 2 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas