Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Elípticas

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2012.1, Questão 1

Seja D o domínio do R 3 dado por { ( x , y ) | x 2 + x y + y 2 1 } . Calcule

D   e x 2 + x y + y 2 d x d y

Sugestão: Faça x = u cos α - v sen α , y = u sen α + v cos α e escolha a constante α de forma que o termo misto u v desapareça do integrando.

Passo 1

Fazendo a substituição que o enunciado sugeriu, o integrando e x 2 + x y + y 2 é escrito como:

u cos α - v   sen α 2 + u cos α - v   sen α u   sen α + v cos α + u   sen α + v cos α 2

Agora não tem jeito, você tem que fazer esses produtos! Vamos calcular cada produto separadamente:

u cos α - v   sen α 2 = u 2 cos 2 α - 2 u cos α v sen α + v 2 sen 2 α

u cos α - v   sen α u   sen α + v cos α = u 2 sen α cos α + u v cos 2 α - u v sen 2 α - v 2 sen α cos α

u sen α + v cos α 2 = u 2 sen 2 α + 2 u sen α v cos α + v 2 cos 2 α

Somando, temos:

u 2 cos 2 α + v 2 sen 2 α + u 2 sen α cos α + u v cos 2 α - sen 2 α - v 2 sen α cos α + u 2 sen 2 α + v 2 cos 2 α =

Agora vamos agrupar os termos com u 2 e v 2 :

= u 2 ( cos 2 α + sen 2 α ) + v 2 ( sen 2 α +   cos 2 α ) + u 2 sen α cos α + u v cos 2 α - sen 2 α - v 2 sen α cos α =

= u 2 + v 2 + ( u 2 - v 2 ) sen α cos α + u v cos 2 α - sen 2 α =

Veja que, se zerarmos o último termo entre parênteses, conseguimos eliminar o termo u v , como sugerido no enunciado também. Sabendo que cos 2 α - sen 2 α = cos 2 α , teremos:

cos 2 α - sen 2 α = 0

cos 2 α = 0

2 α = π 2   α = π / 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que encontramos o valor de α , sabemos que a substituição que faremos é:

x = u cos α - v   sen α   x = 2 2 u - v

y = u   sen α + v cos α     y = 2 2 u + v

Precisamos, então, calcular o Jacobiano dessa mudança.

J = 2 2 - 2 2 2 2 2 2 = 2 4 + 2 4 = 1

Passo 3

Fazendo a substituição no termo x 2 + x y + y 2 , temos:

= 2 4 u - v 2 + 2 4 u - v u + v + 2 4 u + v 2 =

= u 2 + v 2 + 1 2 ( u 2 - v 2 ) =

= 3 u 2 + v 2 2

Então, a integral passa a ser:

D *   e 3 u 2 + v 2 2 1   d u d v

Onde D * = ( u , v ) | 3 u 2 + v 2 2 1

Passo 4

Agora precisamos descrever essa região matematicamente, certo? Como se trata de uma elipse, vamos utilizar coordenadas elípticas:

u = 2 3   r cos θ

v = 2   r sen θ

J = r 2 3 × 2 = 2 3 3 r

Dessa forma, a elipse 3 u 2 + v 2 2 1 passa a ser dada por: 0 r 1 ; 0 θ 2 π , pois já definimos u e v para isso.

Passo 5

Lembrando que 3 u 2 + v 2 2 = r 2 , vamos montar a nova integral em r e θ :

0 1 0 2 π e r 2 2 3 3 r d θ d r

Passo 6

Integrando em relação a θ , temos:

= 2 3 3 0 1   r   e r 2 d r θ   θ = 0 θ = 2 π =

= 4 π 3 3 0 1 r e r 2 d r

Passo 7

Agora em relação a r . Se, na integral, chamarmos u = r 2 , teremos d u = 2 r   d r . Os limites de integração ficam inalterados se a gente fizer essa mudança de variáveis. Assim:

4 π 3 3 0 1 r e r 2 d r = 2 π 3 3 0 1 e u   d u =

= 2 π 3 3 × e u u = 0 u = 1 =

= 2 π 3 3 ( e - e 0 ) =

Resposta

2 π 3 3 ( e - 1 )

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