Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

Unicamp, Cálculo 2, 2019.2, P2, Questão 2.

Calcule a integral

∬ D x   d A

Onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x , y = 0 , e pelos círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y ² = 4 .

Passo 1

Então pessoal, vamos começar fazendo um esboço da região que estamos integrando.

Primeiro, a gente vai ter dois círculos, um de raio 1 :

x 2 + y 2 = 1

E um de raio 2 :

x 2 + y 2 = 2 2 = 4

Então:

Mas o enunciado pediu pra olhar só para o primeiro quadrante. E só na região entre as retas y = x e y = 0 , então:

Beleza, é essa região aí que queremos analisar.

Vale lembrar, aproveitando o desenho, que essa reta y = x faz um ângulo de 45 ° com o eixo horizontal.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, já que estamos lidando com círculos, vamos passar o problema para coordenadas polares. Pra isso vamos usar essas transformações aqui:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ

Então a nossa função, que é simplesmente x , vai ficar assim:

x = r cos ⁡ θ

E o Jacobiano vai seguir a fórmula de sempre:

d A = d x   d y = r   d r   d θ

A parte difícil vem na hora de definir os limites de integração. A gente pode fazer isso só olhando o desenho:

Pra preencher essa área aí, o nosso raio tem que ir desde o círculo de raio 1 ( r = 1 ) até o círuclo de raio 2 ( r = 2 ), então:

1 ≤ r ≤ 2

E o ângulo tem que ir desde o θ = 0 até o θ = 45 ° = π / 4 :

0 ≤ θ ≤ π / 4

Passo 3

Então já temos tudo pra montar a integral:

I = ∬ D x   d A = ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 r cos ⁡ θ   r   d r   d θ

Ou seja:

I = ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 r 2 cos ⁡ θ     d r   d θ

E dá pra separar isso em um produto de duas integrais:

I = ∫ 0 π 4 cos ⁡ θ   d θ ∫ 1 2 r 2   d r

E então vamos calcular cada uma delas. Primeiro, lembrando que a integral de cos ⁡ θ é sen ⁡ θ :

∫ 0 π 4 cos ⁡ θ   d θ = sen ⁡ θ π / 4 0 = sen ⁡ π 4 - sen ⁡ 0 = 2 2 - 0

E a segunda é simplesmente a integral de um polinômio:

∫ 1 2 r 2   d r = 1 3 r 3 2 1 = 2 3 3 - 1 3 3 = 8 3 - 1 3 = 7 3

Então, juntando as duas:

I = 2 2 7 3 = 7 2 6

Pronto! Esse é o valor da integral.

Resposta

A integral vale 7 2 6 .

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