Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2012.1, Questão 3

Calcule a integral dupla

R   x + y 3 d x d y

Onde R é o paralelogramo de vértices ( 1,0 ) , ( 0,1 ) , ( 3,1 ) e ( 2,2 ) . Considere a mudança de variáveis u = x + y e v = x - 2 y .

Passo 1

Bom, se vamos fazer um mudança de variáveis, precisamos calcular o Jabobiano disso aí. Temos a transformação:

u = x + y

v = x - 2 y

Rearranjando isso, obtemos:

x = 2 u + v 3

y = u - v 3

x , y = T u , v = 2 u + v 3 , u - v 3

O que nos dá:

x u = 2 3

x v = 1 3

y u = 1 3

y v = - 1 3

Fazendo o Jacobiano:

J = ( x , y ) ( u , v )     = x u x v y u y v

J = 2 3 1 3 1 3 - 1 3 = - 2 9 - 1 9 = - 1 3

J = 1 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que descobrir nossa região de integração no plano u v . Sabemos que no plano x y , temos os pontos ( 1,0 ) , ( 0,1 ) , ( 3,1 ) e ( 2,2 ) . Aplicando

u = x + y

v = x - 2 y

Encontramos os pontos

1,1

1 , - 2

( 4,1 )

( 4 , - 2 )

Graficamente:

A região de integração é a que está dentro desse quadrado.

Passo 3

Show, agora vamos escrever matematicamente essa região. Bom, como é um quadrado, é tranquilo, podemos ver pela figura que:

1 u 4

- 2 v 1

Passo 4

Agora vamos fazer a mudança na nossa integral.

R   x + y 3 d x d y = - 2 1 1 4 u 3 1 3   d u d v

Não se esqueça do Jacobiano!

E resolver isso aí:

= 1 3 - 2 1 u 4 4 1 4   d v =

= 1 3 - 2 1 4 4 4 - 1 4   d v =

= 255 12 - 2 1 d v   =

= 255 12 v - 2 1 =

= 255 12 1 + 2 =

= 255 4

Resposta

255 4

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