Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2010.2, Questão 1

Calcule a integral dupla D   2 x + y s e n ( x - 2 y ) d x d y , onde D é a região delimitada pelas curvas dadas pelas equações   2 x + y 2 - 2 y + x = - 3 , 2 x + y 2 - 2 y + x = 0 , 2 x + y = 1 e 2 x + y = 0 .

Passo 1

Essa integral, não parece muito simples de se calcular. Analisando o domínio, não conseguimos identificar de primeira que região é essa, para escrevermos como tipo I ou II. Por isso, precisamos fazer substituições.

Repare que os termos 2 x + y e x - 2 y aparecem tanto na integral como nas curvas que limitam a região de integração, isso nos leva a pensar que talvez seja uma boa substituí-los por outra variável. É que faremos, vamos definir:

2 x + y = u e x - 2 y = v

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Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Escrevendo as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v , temos o sistema:

y + 4 y = u - 2 v   y = u - 2 v 5 4 x + x = 2 u + v   x = 2 u + v 5 .

Temos, então>

x u = 2 5

y v = - 2 5

x v = 1 5

y u = 1 5

J = ( x , y ) ( u , v ) = 2 5 1 5 1 5 - 2 5 = 2 5 - 2 5 - 1 5 1 5 = - 4 - 1 25 = - 1 5

J = 1 5

Você também poderia ter calculado ( u , v ) ( x , y ) e invertido o resultado

Passo 3

Agora vamos calcular os novos intervalos, substituindo u e v as equações das curvas do enunciado:

2 x + y = 1   u = 1

2 x + y = 0   u = 0

2 x + y 2 - 2 y + x = - 3     u 2 + v = - 3

2 x + y 2 - 2 y + x = 0   u 2 + v = 0

Nos planos u v , essas expressões definem a seguinte região:

A curva vermelha e a azul são parábolas viradas para baixo.

Passo 4

Vamos, agora, escrever esse domínio como tipo I (em cima e embaixo temos funções e à esquerda e à direita demos números). Como podemos ver, u varia de 0 a 1 , portanto:

0 u 1

A variável v está entre a curva vermelha v = - 3 - u 2 e azul v = - u 2 , assim temos:

- 3 - u 2 v - u 2

Passo 5

Agora vamos montar a nova integral, substituindo os valores de u e v :

0 1   - 3 - u 2 - u 2 u   s e n   v   1 5 d v d u =

Passo 6

Integraremos, então, em relação a v :

= 1 5 0 1 - cos v   u v = - 3 - u 2 v = - u 2 d u =

= - 1 5 0 1 u ( cos ( - u 2 ) - cos ( - 3 - u 2 ) )   d u =

Passo 7

Para terminar a integração, faremos a substituição u 2 = k , temos 2 u d u = d k .

Assim, conseguimos “eliminar” esse termo " u " que multiplica os cossenos.

= 1 5 × 1 2 0 1 ( cos - 3 - u 2 - cos - u 2 ) 2   u d u =

= 1 10 0 1 ( cos - 3 - k - cos ( - k ) )   d k =

= 1 10 ( - s e n - 3 - k + s e n - k ) k = 0 k = 1 =

= 1 10 ( s e n 3 + k - s e n k ) k = 0 k = 1 =

= 1 10 ( s e n 4 - s e n 1 - ( s e n   3 - s e n 0 ) =

Resposta

= 1 10 [ s e n   4 - s e n   1 - s e n   3 ]

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