Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 24e

Calcule a seguinte integral

D y / x + x y d x d y

D é a região do primeiro quadrante, limitada pelas hipérboles x y = 1 , x y = 9 e pelas retas y = x e y = 4 x

Passo 1

Repara que temos y / x e x y tanto nos limites de integração quanto na integral então vamos fazer

u = x y

v = y x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular o Jacobiano dessa transformação.

Nesse caso, escrever as equações de x e de y em função das novas variáveis u e v não é muito simples. Por isso, vamos usar um recurso para facilitar nossa vida, em vez de calcular ( x , y ) ( u , v ) = J , vamos calcular ( u , v ) ( x , y ) = J * (que é o inverso do Jacobiano que queremos).

J * = u x u y v x v y

Temos, então:

u x = y

u y = x

v x = - y x 2

v y = 1 x

J * = y x - y x 2 1 x = y x - - y x 2 . x = y x + y x = 2 y x

Esse valor que encontramos ainda não é o Jacobiano:

J = 1 J * = x 2 y

Deveríamos, agora, escrever esse Jacobiano em função de u e v, as nossas novas variáveis

J = 1 2 v

Passo 3

Agora precisamos descobrir os intervalos de integração no domínio D * .

x y = 1   u = 1

x y = 9   u = 9

y x = 1   v = 1

y x = 4 v = 4

Muito mais simples, não é? A integral iterada será então:

1 4 1 9 v + u 1 2 v d u d v

Passo 4

Vamos resolver essa integral

1 9 1 4 v + u 1 2 v d v d u = 1 9 1 4 v 2 v + u 2 v d v d u = 1 9 1 4 u 2 v + 1 2 v d v d u =

1 9 u ln v 2 + v v = 1 4 d u = 1 9 u ln 4 2 + 4 - u ln 1 2 - 1 d u = 1 9 u ln 2 2 2 + 1 d u = 1 9 u 2 ln 2 2 + 1 d u = 1 9 u ln 2 + 1 d u

u 3 / 2 3 / 2 ln 2 + u u = 1 9 = 9 3 / 2 3 / 2 ln 2 + 9 - 1 3 / 2 3 / 2 ln 2 + 1 = 2 3 . 27 ln 2 + 9 - 2 3 ln 2 - 1

https://www.respondeai.com.br/resumos-e-aulas/30/provas-antigas/1228 54 3 ln 2 - 2 3 ln 2 + 8 = 52 3 ln 2 + 8

Resposta

M = 52 3 ln 2 + 8

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