Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2018.1, Questão 2

Questão 2: Calcule a integral

D   y x   d A

Onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles x 2 - y 2 = 1 , x 2 - y 2 = 4 e pelas curvas y / x = 0 , y / x = 1 / 2 .

Sugestão: use coordenadas adequadas.

Passo 1

Poxa vida, as equações que delimita a região são muito parecidas entre si, além disso, a função que estamos integrando, também lembra uma das equações que delimita a região. Isso tudo só pode significar uma coisa: mudança de coordenadas qualquer.

Ok, mas como vamos fazer essa mudança? Ora venha comigo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos separar as equações que delimitam a região em dois grupos...

x 2 - y 2 = 1   x 2 - y 2 = 4                         e                             y / x = 0     y / x = 1 2

Agora se tomarmos u e v como funções de x e y tal que...

x 2 - y 2 = 1   x 2 - y 2 u x ,   y = 4                         e                             y / x = 0     y / x v x ,   y = 1 2

Ou seja...

u x ,   y = x 2 - y 2

v x ,   y = y x

A nossa mudança basicamente acaba aqui! E olha o mais interessante, com essa mudança, também conseguimos falar rapidamente onde u e v variam, apenas olhando para os grupos que separamos novamente...

x 2 - y 2 = 1   x 2 - y 2 u x ,   y = 4                         e                             y / x = 0     y / x v x ,   y = 1 2

Assim:

1 u 4

0 v 1 2

Passo 3

Mas nem tudo são flores, neh? E a parte mais chata vem agora: encontrar o Jacobiano da mudança! Sim, pois deve se lembrar de que qualquer mudança, devemos encontrar esse cara, ok?

O Jacobiano é sempre dado por:

J = x u x v y u y v

O problema é na mudança que fizemos não temos o x e o y em função de u e v , e sim o contrário, por isso, para evitar calcular derivadas implícitas, vamos calcular um cara que é primo do Jacobiano: o Jacobiano Inverso J - 1 .

J - 1 = u x u y v x v y

Com

u x ,   y = x 2 - y 2

v x ,   y = y x

Basta derivar e calcular determinante...

J - 1 = 2 x - 2 y - y x 2 1 x =

2 - 2 y 2 x 2 = 2 1 - y x 2

O Jacobiano que a gente quer ( J u ,   v ) tem uma relação muito bacana com o seu primo: ele é o inverso do módulo dele

J u ,   v = 1 | J - 1 | = 1 2 1 - y x 2

Veja, que só tem um detalhe, o Jacobiano tem que estar em função das novas variáveis sempre. Mas isso não é um grande problema, já que y / x = v :

J u ,   v = 1 2 1 - v 2

Podemos tirar do módulo também, pois v   varia de 0 a 1 / 2   , nesse intervalo, 1 - v 2 é sempre positivo (normalmente você poderá tirar o módulo, mas é bom justificar antes) ;)

J u ,   v = 1 2 1 - v 2

UFA! Mas acabamos com o Jacobiano. Agora bora montar a integral !

Passo 4

A integral então será (basta substituir tudo e não se esquecer de multiplicar a função do integrando pelo Jacobiano)...

D   y x   d A = 1 4 0 1 2 v J   d v d u =

1 4 0 1 2 v 2 1 - v 2   d v d u

Agora é só integrar e ser feliz =)

Passo 5

Para integrar a de dentro

1 4 0 1 2 v 2 1 - v 2   d v d u = 1 2 1 4 0 1 2 v 1 - v 2   d v d u

Podemos fazer uma substituição:

1 - v 2 = t                         d t = - 2 v   d v         o u           v d v = - d t 2

Lembre-se de trocar os limites também...

v = 0                                   t = 1 - v 2 = 1

v = 1 2                                   t = 1 - 1 2 2 = 3 4

1 2 1 4 0 1 2 v 1 - v 2   d v d u = 1 2 1 4 1 3 4 1 t   - d t 2 d u =

1 4 1 4 3 4 1 1 t   d t d u = 1 4 1 4   ln t   3 4 1 d u =

1 4 1 4 ln 1 - ln 3 4 d u = 1 4 1 4 - ln 3 4 d u =

- ln 3 4 4 1 4 d u =

Integrando em u agora...

- ln 3 4 4 4 - 1 = - 3 4 ln 3 4

Resposta

- 3 4 ln 3 4

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