Exercícios Resolvidos de Mudança Qualquer de Variáveis

UNICAMP, Cálculo 2, P2 - 2015.2, Questão 5

Seja Q a região delimitada pelo quadrilátero com vértices 0,0 , 1,2 , 3 , - 1 e 4,1 .

a) Esboce a região Q no plano x y .

b) Considere a transfomação u x , y = 2 x - y e v x , y = x + 3 y . Esboce a imagem da região Q através da tranformação no plano u v .

c) Calcule

Q x + 3 y e 2 x - y x + 3 y d A

Passo 1

a)

Bem, essa é aquela questão pra não tirar zero na prova, né? Vamos só marcar os pontos e ligá-los, coisa básica:

Não tem com errar! haha

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Agora já começa a complicar um pouco, temos que fazer a substituição e tal, ele pede que:

u = 2 x - y       v = x + 3 y

Mas vamos começar tentando entender como são aquelas retas do quadrilátero nas coordenadas cartesianas. A nossa região era limitada por quatro retas, de equações:

0,0 1,2 : y = 2 x

2 x - y = 0

1,2 4,1 : y = - 1 3 x + 7 3

x + 3 y = 7

4,1 3 , - 1 : y = 2 x - 7

2 x - y = 7

3 , - 1 0,0 : y = - 1 3 x

x + 3 y = 0

Que são resultados muito convenientes, porque com as transformações, vamos ter:

2 x - y = 0 u = 0

x + 3 y = 7 v = 7

2 x - y = 7 u = 7

x + 3 y = 0 v = 0

Passo 3

Agora é só traçar essas retas no plano u v :

Passo 4

c)

O cara ficou esse tempo todo enrolando, pedindo desenho, mas agora vem a parte séria, vamos ver essa integral aí!

Q x + 3 y e 2 x - y x + 3 y d A

Mas isso não vai ficar muito difícil justamente porque já temos nossa transformação:

u = 2 x - y         v = x + 3 y

Agora vamos calcular o jacobiano. Mas como temos u e v isolados, ao invés de x e y , vamos começar por J * :

J * = u , v x , y

u x = 2         u y = - 1

v x = 1         v y = 3

Então, vamos ter o determinante:

2 - 1 1 3 = 6 - - 1 = 7

Mas como:

J = 1 J * J = 1 7

Agora é só calcular a integral!

Passo 5

Vamos substituir tudo na integral, inclusive os limites, que vimos pelo desenho que são 0,7 × 0,7 e vamos ter:

Q x + 3 y e 2 x - y x + 3 y d A = 0 7 0 7 v e u v 1 7   d u d v

1 7 0 7 v e u v v 0 7   d v = 1 7 0 7 e 7 v - e 0 d v

1 7 e 7 v 7 0 7 - v 0 7 = 1 7 e 49 - e 0 7 - 7

e 49 - 1 - 49 49 = e 49 - 50 49

Que resultado esquisito, hein? Mas é isso mesmo!

Resposta

a)

b)

c)

e 49 - 50 49

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