Exercícios Resolvidos de Otimização – Casos Clássicos

UFPE, Cálculo 1, 2º EE - 2018.2, Questão Q03

3) Determine o maior volume possível que pode conter uma caixa (paralelepípedo) com base quadrada, construída com 1200   c m ² de material, e que não inclui a tampa.

Passo 1

Um bom primeiro passo é desenhar a figura a ser otimizada e dar nome aos bois. Saca só:

Sendo assim, como a base é quadrada, o volume dessa caixa é:

V = A b a s e ∙ H

V = x 2 y

Ok, mas isso aí tem duas variáveis! Não da pra otimizar! Verdade, então vamos relacionar essas variáveis. Veja bem, a área das faces é:

A q u a d r a d o = x 2

A r e t â n g u l o = x y

Como temos nesse paralelepípedo 1 quadrado (lembrando que não está inclusa a tampa da caixa) e 4 retângulos, a área total é dada por:

A t o t a l = 4 x y + x 2

Só que a área total é um dado do problema em! Então substituindo:

1200 = 4 x y + x 2

1200 - x 2 = 4 x y

1200 - x 2 4 x = y

E juntando esse y isolado na fórmula do volume, temos:

V = x 2 y

V x = x 2 1200 - x 2 4 x

V x = 1200 x - x 3 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show de bola, temos a função volume pronta pra ser otimizada. Como pra acharmos os pontos críticos precisamos derivar e igualar a 0 , é exatamente isso que vamos fazer agora. Então bora:

V x = 1200 x - x 3 4

V ' x = 1200 - 3 x 2 4 = 0

1200 - 3 x 2 = 0

1200 = 3 x 2

40 0 = x 2

x = 20

Opa, um ponto crítico só! O volume para esse ponto crítico vai ser:

V 20 = 1200 ∙ 20 - 20 3 4 = 24000 - 8000 4 = 16000 4 = 4000   c m 3

Passo 3

Só pra garantir que esse volume é mesmo o volume que maximiza, vamos testar as fronteiras. O valor de x não é fixo, pode variar de 0 até (só não pode ser negativo né, já viu quadrado com lado negativo?). Testando esses valores então:

V 0 = 1200 ∙ 0 - 0 3 4 = 0

lim x → + ∞ ⁡ 1200 x - x 3 4 = - ∞

Então realmente x = 20 é o ponto que maximiza o volume!

Resposta

V 20   c m = 4000   c m 3

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