Exercícios Resolvidos de Parábolas

UFF, Lista 4 – Exercícios Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, página 2, exercício 11

Encontrar as coordenadas do vértice, o foco e a equação da diretriz de cada uma das seguintes parábolas:

  1. Equation
  2. Equation
  3. Equation
  4. Equation
  5. Equation

Passo 1

Opa!! Nosso problema envolve as parábolas!! Então, vamos colocar em prática tudo o que vimos sobre parábolas!! O enunciado pede para encontrarmos as coordenadas do vértice, o foco e a equação diretriz de cada uma das parábolas. Então, bora começar!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Equation

Essa expressão tem o jeito parecido de uma das equações que vimos na teoria, que é a seguinte:

Equation

Vimos também que essa equação é a equação de uma parábola que possui vértice na origem Equation e seu eixo é o eixo Equation . Bom, já temos o vértice e o eixo só de lembrar da teoria. Também sabemos, que com essas características o foco é Equation . Mas, quem é Equation ?

Para achar Equation devemos comparar Equation

Comparando, temos:

Equation

Então,

Equation

E nossa, diretriz?

A diretriz está sempre a uma distância Equation do vértice, como nosso foco está na parte positiva,entãoisso indica que nossa diretriz estará na parte negativa:

Portanto, nossa diretriz é:

Equation

Pronto!! Nossa primeira parábola já está definida: Equation

Passo 3

b) Equation

Essa equação não se parece nem com o caso 1 e nem com o caso 2, mas com o caso 3, que possui translação!! É isso mesmo!!

Como vimos, para resolver esse tipo de exercício primeiro passamos a equação para um sistema genérico Equation , resolvemos tudo para esse sistema e depois passamos para o sistema cartesiano novamente.

Então, nosso sistema genérico será:

Equation

Equation

Fazendo essas mudanças, teremos:

Equation

Vamos resolver, normalmente! Então primeiro, vamos encontrar o valor de Equation :

Equation

Comparando:

Equation

Nosso foco no sistema Equation será:

Equation

O vértice no sistema Equation é Equation .

Como temos que nosso foco está na parte negativa, então nossa reta diretriz estará na parte positiva e será Equation . Logo,

Equation

Sempre lembre que o foco e a diretriz são simétricos em relação a algum dos eixos.

Bom, chegamos em todos os resultados, mas os resultados está no sistema Equation , então chegou a hora de usarmos as relações,

Equation

Equation

Para passarmos do Equation para Equation .

Assim, para o sistema Equation temos:

Equation

Substituindo as relações Equation e Equation ,temos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Nossa parábola nos eixos Equation possuem os seguintes elementos: Equation

Passo 4

c) Equation

Esse item é parecido com o anterior, o que vai alterar são as relações de Equation e Equation .

Então, primeiro escrevendo essas relações, temos:

Equation

Equation

Assim, teremos a expressão em Equation :

Equation

Vamos tratar esse problema normalmente só que a diferença é que estamos num sistema de coordenadas Equation , mas isso resolvemos depois ;).

Pelo jeito da expressão sabemos que o eixo da nossa parábola é o eixo Equation e que o vértice no sistema Equation é Equation . Vamos encontrar o valor de Equation para acharmos o foco e a diretriz!!

Equation

Comparando, temos:

Equation

Nosso foco no sistema Equation é Equation ,portanto:

Equation

Como nosso foco está no lado positivo, nossa diretriz estará no negativo, então:

Equation

Pronto! O problema terminou!! Nada disso!! Cuidado, achamos os resultados para o sistema genérico Equation , mas as respostas sempre devemos dar em coordenadas cartesianas Equation . Então, para terminar vamos usar as relações:

Equation

Equation

Substituindo, temos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Agora, sim!! Nossas respostas são: Equation , Equation

Passo 5

d) Equation

Nesse item não temos mais translação, mas note que agora quem está elevado ao quadrado éo Equation e não mais o Equation como estávamos fazendo. Então, agora, estamos no 1º caso da teoria.

Se estamos no 1º caso da teoria sabemos que o vértice é Equation e que o eixo da parábola será, agora, o eixo dos Equation . Falta, então, calcularmos o valor de Equation para então descobrirmos as coordenadas do foco e a reta diretriz.

Então, comparando:

Equation

Equation

Equation

Nosso foco nesse caso é Equation como vimos na teoria. Achamos que Equation , substituindo temos:

Equation

Como nosso foco é negativo, a diretriz estará na parte positiva como mostra a figura:

Calculando será:

Equation

Equation

Pronto!! Como não tivemos que fazernenhuma mudança de coordenadas todos os nossos resultados já estão nas coordenadas Equation . Então, temos como resultado: Equation e Equation .

Passo 6

e) Equation

Nosso problema agora é parecido com o do item anterior, mas com translação, ou seja, teremos que fazer uma mudança de coordenadas. Para isso, vamos excrever as relações:

Equation

Equation

Substituindo essas relações obtemos a seguinte expressão no sistema Equation :

Equation

Agora, estamos no caso do item anterior, mas num sistema transladado. Vamos calcularos parâmetros normalmente e depois fazemos a mudança de coordenadas. Pelo jeitão da expressão estamos no primeiro caso, ou seja, Equation e nosso eixo é o eixo Equation . Lembrando, como fizemos uma mudança de variável trabalharemos com o sistema Equation . Podemos comparar então:

Equation

Equation

Equation

Da teoria sabemos, que Equation , então nosso foco no sistema Equation fica:

Equation

E nossa diretriz, também no sistema Equation é Equation . Como nosso foco está na parte negativa, nossoa diretriz estará na parte positiva, então:

Equation

Já que achamos tudo o que precisávamos no sistema Equation , agora sim, podemos passar para o sistema Equation . Para isso vamos utilizar as relações:

Equation

Equation

Substituindo, teremos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Terminamos!! A solução desse item é: Equation , Equation e Equation .

Resposta

Equation

Equation

Equation , Equation

Equation e Equation

Equation , Equation e Equation

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