Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

  1. Apresente uma parametrização diferenciável para a curva C em R 3 , interseção das superfícies dadas por:
  1. z = 1 - x 2 , z ≥ 0 e x = y

Passo 1

Bem, será de grande ajuda se você sempre começar parametrizações assim, desenhando essa curva no espaço.

Mas calma, pois basta colocar essas superfícies juntas no R 3 que você verá a curva na intercessão delas! Veja:

Observe que nesse caso, a curva está em cima desse cilindro parabólico de equação explícita z = 1 - x 2 . Logo podemos pensar em uma parametrização... explícita...

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Passo 2

Nesse tipo de parametrização, troquemos o

x = t

como a curva está em cima do plano x = y ...

y = t

também, saca? Enquanto o z ...

z = 1 - x 2 = 1 - t 2

Logo, a parametrização fica...

r → t = t ,   t ,   1 - t 2

Passo 3

Agora se lembre: nunca devemos terminar uma parametrização sem encontrar onde esse parâmetro t está variando, ok?

Nesse caso, como pode ser notado no desenho, só queremos o pedaço de curva que está acima de z = 0 . Como z = 1 - t 2 ...

1 - t 2 = 0           →           - t 2 = - 1             →             t 2 = 1         →

t = ± 1

portanto, podemos falar que

- 1 ≤ t ≤ 1

Resposta

a )   r → t = t ,   t ,   1 - t 2 ,   - 1 ≤ t ≤ 1

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