Exercícios Resolvidos de Parametrizações com Geometria

UFRJ, Cálculo Diferencial e Integral 2, P1 2015.1, questão 2

A reta que passa pela origem O = 0,0 e faz ângulo θ com o eixo x , intercepta a circunferência x 2 + y 2 = a 2   no ponto Q . Seja P o ponto médio do segmento Q R - na figura abaixo. Determine as coordenadas de P em função do ângulo θ . Perceba que, quando θ varia entre π 2 e 0 , o ponto P   percorre a curva A B da figura.

Passo 1

Vamos lá! P é o ponto médio do segmento Q R - , certo? Então, se as coordenadas de Q e R são, respectivamente, q 1 , q 2 e r 1 , r 2 , as coordenadas do ponto P são:

P = p 1 , p 2 = q 1 + r 1 2 , q 2 + r 2 2

Beleza até agora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, tudo o que temos que fazer é encontrar cada uma dessas coordenadas! Comecemos pelo ponto Q ...

O que sabemos dele? Sabemos que pertence sempre à circunferência de raio a ! Assim, podemos dizer que suas coordenadas estão no modelo:

Q = q 1 , q 2 = a cos ⁡ θ ,   a sin ⁡ θ

Ok, e sobre o ponto R , o que sabemos dele? Sabemos que sua coordenada y é sempre constante e igual ao raio a da circunferência! Assim,

R = r 1 , a

E ainda podemos descobrir a relação que r 1 tem com a e θ . Veja que no triângulo de vértices O , R e 0 , a , temos que:

tan ⁡ θ = a r 1

E, assim,

r 1 = a . tan - 1 ⁡ θ

E o ponto R pode ser descrito por:

R = a . tan - 1 ⁡ θ , a

Passo 3

Colocando esses valores para q 1 , q 2 e r 1 , r 2 na equação de P , teremos:

P = p 1 , p 2 = a cos ⁡ θ + a . tan - 1 ⁡ θ 2 , a sin ⁡ θ + a 2

Prontinho, aí está o nosso ponto P !

Resposta

O ponto é P = a cos ⁡ θ + a . tan - 1 ⁡ θ 2 , a sin ⁡ θ + a 2

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