Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

USP, Física 4, PRec - 2018, Questão 4

Considere o movimento unidimensional de uma partícula de massa m sujeita a um potencial Equation que é nulo na região Equation e infinito para Equation ou Equation

(a) Escreva a função de onda nas regiões Equation e Equation . Justifique sua resposta.

(b) Escreva a equação de Schrödinger para a região Equation e utilizando as condições de contorno, obtenha a expressão para a função de onda normalizada Equation

(c) Determine os possíveis valores dos níveis de energia em termos dos parâmetros do enunciado e de Equation

Passo 1

(a) Lembrando que a equação de Schrödinger é dada por:

Equation

Rearranjando os termos na equação:

Equation

Fazendo Equation

Equation

A solução dessa equação é:

Equation

onde Equation

Isso é porque temos uma derivada segunda de uma função igual a uma constante vezes a própria função, e isso acontece para a função exponencial.

Mas na região Equation e na região Equation , temos que Equation

Então, fazendo Equation e Equation

Portanto, nessas regiões, a função de onda é:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Agora, na região com Equation temos Equation e a equação de Schrödinger fica:

Equation

Agora temos uma função cuja derivada segunda é uma menos uma constante vezes a própria função.

Isso ocorre para as funções seno e cosseno, então as duas são possíveis respostas.

Então, como uma combinação linear de soluções de uma equação diferencial também é solução dessa equação, uma solução possível vai ser:

Equation

Onde Equation

Pelas condições de contorno do problema:

Equation

Equation

Como não queremos uma solução trivial Equation é solução trivial), vamos fazer:

Equation

Equation

Equation

Com Equation

Beleza, mas ainda precisamos achar as soluções normalizadas, pois até agora temos só que:

Equation

Ainda falta achar esse A aí em cima.

Para isso, vamos usar a condição de normalização:

Equation

Equation

Usando que:

Equation

Achamos:

Equation

Equation

Logo, a solução normalizada é:

Equation

Passo 3

(c) Vimos no Passo 2 que:

Equation

Com Equation

Com isso já conseguimos achar as energias permitidas Equation

Tínhamos visto também no Passo 2 que:

Equation

Isolando E:

Equation

Substituindo pelo valor de k que falamos no início do Passo 3:

Equation

Equation

Resposta

(a) Equation

(b) Equation

(c) Equation

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