Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

PUCRIO, Física 4 - FIS1061, P3 - 2017.2, Questão 3

Uma partícula de massa m está confinada em um poço de potencial infinito (“caixa unidimensional”), tal que

Equation

(a) A partir da equação de Schrödinger, verifique que Equation é uma função de onda possível para representar o estado quântico dessa partícula e, com isso, encontre a energia associada a esse estado.

(b) Encontre o valor esperado da posição da partícula no estado do item (a).

Passo 1

A fórmula geral de Schrödinger é dada por

Equation

Mas nesse caso queremos o estado da partícula em 1D quando está esta dentro do poço, ou seja, pelo enunciado vemos que quando a partícula esta dentro do poço V(x)=0 logo U(x)=0 dentro do poço, dessa forma podemos reescrever a equação de Schrödinger como

Equation

Já sabemos que

Equation

E a derivada segunda será

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo as funções na equações teremos que

Equation

Isolando a energia, teremos que

Equation

Equation

Equation

Agora vale lembrar que se fizéssemos esse mesmo calculo mas para um nível n do poço infinito, teriamos que

Equation

Equation

Substituindo

Equation

Equation

Equation

Equation

Comparando as duas fórmulas teremos que

Equation

Equation

Equation

Ou seja, corresponde à energia do terceiro nível (n=3) do poço infinito.

Passo 3

Para descobrirmos o valor esperado da posição da partícula precisamos usar a integração

Equation

Equation

Equation

Resolvendo essa integral teremos que

Equation

Resposta

  1. Equation energia do terceiro nível (n=3) do poço infinito
  2. Equation

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