Exercícios Resolvidos de Partícula no Poço Finito

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pp 234-21

  1. Mostre que para região x > L do poço de potencial finito da Fig. 39-7, ψ x = D e 2 k x é uma solução da equação de Schrödinger unidimensional, onde D é uma constante e k é um número real positivo.
  2. Por que razão a solução matemáticamente aceitável do item (a) não é considerada fisicamente admissível?

Passo 1

(a) Para o poço de potencial finito a equação de Schrödinger é:

d 2 ψ d x 2 + 8 π 2 m h 2 E - U x ψ = 0  

O problema pede para mostrarmos que ψ x = D e 2 k x é uma solução. Para isso basta aplicarmos as derivadas no lado esquerdo da equação e se resultar em zero ela satisfaz. Assim, a primeira derivada da função é:

d ψ d x = 2 k D e 2 k x

Aplicando a segunda derivada temos:

d 2 ψ d x 2 = 4 k 2 D e 2 k x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora bora substituir na equação o que a gente encontrou. A equação inicial vai ficar com essa cara:

4 k 2 D e 2 k x + 8 π 2 m h 2 E - U x D e 2 k x = 0

Dividindo os dois lados por D e 2 k x :

4 k 2 + 8 π 2 m h 2 E - U x = 0

Isolando o k encontramos o valor que satisfaz a equação, dessa forma:

k = - 8 π 2 m h 2 E - U x 4 = π h √ ( 2 m U x - E )

Passo 3

(b) A questão diz pra gente que a região é x > L , o que significa que U x > E , fazendo com que a raiz da equação seja positiva e k seja real, mas se ele for real então a função que foi dada como solução:

ψ x = D e 2 k x

Cresce para valores de positivos de x exponencialmente e a integral da densidade de probabilidade ψ 2 não será unitária, então ela é fisicamente impossível.

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